Задача 8. Написать первые три члена ряда
, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.
Решение. Беря последовательно
, запишем данный ряд в виде:
Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера
.
Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству
, или
, или
.
Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При
данный ряд принимает вид
. Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при
. Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит,
При
данный ряд принимает вид
. Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл
.
Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при
– область сходимости данного ряда.
Задача 9. Вычислить
мс точность до 0,001.
Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив х в разложении функции
на
, имеем:
Тогда
.
3)
.
