Математика решение задач контрольной работы

Задача 8. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение. Беря последовательно , запишем данный ряд в виде:

 

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

.

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству

, или , или .

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При   данный ряд принимает вид . Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит,   принадлежит области сходимости данного ряда.

При  данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл .

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при  исходный ряд сходится. Таким образом,  – область сходимости данного ряда.

Задача 9. Вычислить  мс точность до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив х в разложении функции  на , имеем:

Тогда

.

 3) .

Вычислить интеграл