Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Задача 8. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение. Беря последовательно , запишем данный ряд в виде:

 

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

.

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству

, или , или .

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При   данный ряд принимает вид . Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит,   принадлежит области сходимости данного ряда.

При  данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл .

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при  исходный ряд сходится. Таким образом,  – область сходимости данного ряда.

Задача 9. Вычислить  мс точность до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив х в разложении функции  на , имеем:

Тогда

.

 3) .

Вычислить интеграл