Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Интеграл Римана.

П.1 Понятие интеграла Римана.

ОПР. На отрезке [a;b] расположены точки . Говорят, что они задают

разбиение  отрезка [a;b] c параметром , где .

ОПР. Для любого набора точек  выражение называется интегральной суммой Римана.

ОПР. Интегралом Римана функции  на отрезке  называют число равное

 .

т.е.  и .

Функция , для которой существует интеграл Римана, называется интегрируемой.

Существуют функции не имеющие интеграла, например, на отрезке функция

 не имеет интеграла, поскольку существуют  и с как угодно малым

значением , для которых =1 и =0.

ТЕОРЕМА 1. ( необходимое условие существования интеграла)

Если существует интеграл Римана , то функция  ограничена на отрезке .

ДОК. Из условия существования интеграла следует ограниченность интегральных сумм Римана : для любых разбиений с достаточно малым и любым .

Фиксируем одно из таких разбиений . Пусть функция  неограниченна на .

Тогда она неограниченна хотя бы на одном из отрезков разбиения , например, на

и изменяя только  можно добиться как угодно больших значений интегральных сумм :

.

ОПР. Разбиение отрезка  называется последующим по отношению к , обозначение , если точки разбиения  содержатся в множестве точек разбиения .

Следующие два утверждения подготовят к доказательству достаточного условия интегрируемости функции.

ЛЕММА 1. Если  - разбиение отрезка , для которого , то для любого последующего разбиения  : .

ДОК. Выберем любой отрезок разбиения . В разбиении  на этом отрезке могут появиться новые точки  и новые . Тогда

 и . Тогда

 .

ЛЕММА 2 Для двух произвольных разбиений  и  отрезка , для которых

 и , справедлива оценка .

ДОК. Рассмотрим разбиение , в котором участвуют все точки из разбиения  и .

Тогда  ,   и . Тогда по лемме 1

 .

Интересно следствие из доказанной оценки, получаемое предельным переходом при

 :  для любого  и любого .

Следующая теорема выражает достаточное условие интегрируемости.

ТЕОРЕМА 2. Всякая функция, непрерывная на отрезке , интегрируема на .

ДОК. Используя критерий Коши достаточно доказать, что

 .

Действительно, из условия непрерывности функции  следует, что существует

, для которого . Тогда с учетом леммы 2

.

П.2 Свойства определенного интеграла.

А. Свойство линейности.

Если функции , интегрируемы на отрезке ,

 и  для любого .

B. Интегрирование неравенства.

Если функции , интегрируемы на отрезке  и , то .

Действительно, и знак неравенства не меняется после предельного перехода.

Если неотрицательная непрерывная функция хотя бы в одной точке отрезка положительна,

то .

C. Оценка определенного интеграла.

Если и , то .

Действительно,  и по свойству А .

Аналогично, и по свойству А .

D. Теорема о среднем для определенного интеграла.

Если функция  непрерывна на отрезке , то существует , для которого

 .

Действительно, по свойству В , но по теореме об области значений

непрерывной функции , т.е. функция принимает все значения на отрезке в том числе и число .

 E. Оценка для модуля интеграла.

Если интегрируемы функции  и  на отрезке , то

 .

Действительно, на отрезке справедливо неравенство . Тогда

по свойству А , откуда следует .

F. Аддитивность интеграла по множеству.

Если функция  интегрируема на отрезках  и , то она интегрируема на их объединении .

Действительно, любое разбиение  отрезка  порождает разбиения

 отрезков   и соответственно с добавленной к ним точкой c .

Тогда  и , переходя к пределу при , получим

 

П.3 Интегрирование разрывных функций.

ЛЕММА 3. Если функция  то .

ДОК. Любая интегральная сумма , соответствующая разбиению , имеет вид

, где   и .

Поэтому .

ЛЕММА 4. Если функция  непрерывна на отрезке , а функция

определена на и совпадает с  на интервале , то .

ДОК. Функция удовлетворяет условию леммы 1 и .

Тогда по свойству А следует утверждение леммы.

ОПР. Функция называется кусочно – непрерывной на отрезке , если существует разбиение  отрезка , для которого функция непрерывна

на каждом интервале  и имеет разрывы первого рода в точках .

ТЕОРЕМА 3.

Всякая кусочно-непрерывная функция на отрезке интегрируема.

ДОК. По лемме 2 функция интегрируема на каждом отрезке . Тогда интегрируемость функции на следует из свойства F и конечности числа точек разрыва.

ТЕОРЕМА 4.

Если функция  кусочно- непрерывна на отрезке  и , то

в конечном числе точек.

ДОК. Если  для , то  и , поскольку хотя бы одно из этих слагаемых положительно, а другие неотрицательны.

Таким образом, .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Понятие интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости на отрезке.

2) Достаточное условие интегрируемости на отрезке (включая леммы)

3) Свойства линейности интеграла, интегрирование неравенства .

4) Оценка значения интеграла Римана, теорема о среднем для интеграла.

5) Оценка модуля интеграла, свойство аддитивности интеграла по множеству.

6) Интегрирование разрывных функций.

Вычислить интеграл