Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Вычисление определенного интеграла.

П.1 Интеграл как функция верхнего предела.

Пусть  - непрерывная функция на отрезке . Рассмотрим функцию

, определенную на отрезке . В силу оценки , функция непрерывна на отрезке .

ТЕОРЕМА 1.

 Производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции.

ДОК. Вычислим производную функции  в точке . Для этого представим приращение , где

. Тогда из теоремы о среднем для интеграла и непрерывности функции следует, что 0, где . Таким образом, функция  дифференцируема в точке  и ее производная равна .

Если  или , то обеспечивается правосторонняя или левосторонняя производная

функции .

СЛЕДСТВИЕ. Если функция кусочно – непрерывна на , то имеет производную равную в точках непрерывности, а точках разрыва   функция  производной не имеет, но остается непрерывной( разрыв производной первого рода)

Следующая теорема связывает понятия первообразной и интеграла Римана.

Пусть - кусочно – непрерывная функция на . Всякая непрерывная на  функция называют первообразной функции , если в точках ее непрерывности

. Если   и  две первообразные , то  на каждом интервале непрерывности функции , но в силу непрерывности  и   константа C сохраняется единой на всех интервалах, т.е. . Согласно теореме 1 функция является первообразной функции даже, если она кусочно- непрерывна.

ТЕОРЕМА 2.( ФОРМУЛА Ньютона-Лейбница)

Если - кусочно – непрерывная функция на  и - любая ее первообразная.

Тогда .

ДОК. Функция . Подставляя , получим , т.е.

. Подставляя , получим =.

П.2 Интегрирование по частям в определенном интеграле.

ТЕОРЕМА 3. (ФОРМУЛА интегрирования по частям)

Если - кусочно- гладкие (имеющие кусочно-непрерывную производную) функции на отрезке , то .

ДОК. .

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. =

. Тогда .

 и для четного .

. Для нечетного

П.3 Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть задан интеграл  от непрерывной на функции и функция

, определенная на отрезке , имеющая непрерывную производную в каждой точке отрезка и .

ТЕОРЕМА 4.

Если функция :и функция непрерывна на , то справедлива формула : .

ДОК. Пусть первообразная функции  на . Тогда формула замены переменной для неопределенного интеграла утверждает, что  является первообразной функции  на отрезке  и , где  произвольная первообразная этой функции. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница

 .

ПРИМЕР 2 . Доказать, что .

РЕШЕНИЕ. Сделаем замену . Тогда .

П.4 Теоремы о среднем для определенного интеграла.

ТЕОРЕМА 5. Пусть функции  непрерывны на отрезке  и для . Тогда существует точка , для которой .

ДОК. Из непрерывности функции следует, что область ее значений на отрезкеесть отрезок . Тогда с учетом положительности значений функции справедливо неравенство : . После его интегрирования на отрезке : . Тогда величина , т.е. существует , для которого .

При получим знакомый результат : .

ТЕОРЕМА 6. . Пусть функции  непрерывна на отрезке , функция  непрерывна на  и имеет производную во внутренних точках, причем . Тогда существует точка , для которой .

ДОК. Рассмотрим функцию , являющуюся первообразной функции на отрезке , и применим к интегралу  формулу интегрирования по частям :

.

Функция  непрерывна на , поэтому существуют числа и , для которых значения  для . С учетом и , имеем :

 или . Тогда существует , для которой .

Если функция неотрицательна и неубывает на отрезке  , то справедливо равенство для некоторого .

УПРАЖНЕНИЕ.

1) Докажите, что .

2) Докажите, что для периодической функции с периодом T интеграл на отрезке длины периода не зависит от его начала : , .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о дифференцировании интеграла по верхнему пределу

2) Формула Ньютона – Лейбница.

3) Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Пример.

4) Формула замены переменной в определенном интеграле.

5) Теоремы о среднем для определенного интеграла.

Вычислить интеграл