Математика решение задач контрольной работы

Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой.

ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ.

Площадью фигуры Ф называют число , которое не больше, чем площадь  объемлющей элементарной фигуры , например, составленных из многоугольников, и не меньше, чем площадь  любой объемлемой элементарной фигуры .

Поскольку , следует считать, что площадь имеет та фигура, для которой

.

ОПР. Криволинейной трапецией называют фигуру на плоскости, ограниченную осью ОХ,

прямыми с уравнениями  и  и кривой графика функции , определенной на отрезке .

Пусть  разбиение отрезка . В качестве объемлющей фигуры для криволинейной трапеции выбираем также криволинейную трапецию, построенной для

кусочно-постоянной функции . Аналогично, объемлемой фигурой для криволинейной трапеции будем считать криволинейную трапецию, построенную для кусочно-постоянной функции . Тогда  и .

Выражения для  и  являются интегральными суммами ( верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу) . Если разбиение , то сумма убывает,

а - возрастает. Если функция  интегрируема, то =.

Если  на отрезке , то площадь криволинейной трапеции равна -.

Если функция меняет знак на отрезке , то на отрезках , где  интеграл берется со знаком +, а на отрезках , где , интеграл берется со знаком - .

ОПР. Элементарной областью  на плоскости называют фигуру, ограниченную

 прямыми с уравнениями  и , графиками непрерывных функций

 и

ОПР. Элементарной областью  на плоскости называют фигуру, ограниченную

 прямыми с уравнениями  и , графиками непрерывных функций

 и .

ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ фигур  и .

  и .

ДОК. Если  и  - криволинейные трапеции , соответствующие функциям   и

 на отрезке и , то . Тогда  .

Если , но  на некоторых промежутках, то существует число , для которого для функций   и  выполняется условие

. Площади элементарных фигур, построенных для функций  и на отрезке  равны, т.е.

 .

Формула для площади фигуры доказывается аналогично. Площадь имеют фигуры, являющиеся конечным объединением элементарных областей типа  и .

ПРИМЕР 1. Площадь сектора окружности радиуса r с углом q .

РЕШЕНИЕ.

 .

Если граница криволинейной трапеции задается параметрически ,   ,

- возрастающая функция, , , . Тогда .

Действительно, по доказанному .

П 2. Вычисление площади в полярной системе координат.

ОПР. Элементарной областью  на плоскости называют фигуру, ограниченную лучами   и , кривой .

Вычислить интеграл