Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой.

ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ.

Площадью фигуры Ф называют число , которое не больше, чем площадь  объемлющей элементарной фигуры , например, составленных из многоугольников, и не меньше, чем площадь  любой объемлемой элементарной фигуры .

Поскольку , следует считать, что площадь имеет та фигура, для которой

.

ОПР. Криволинейной трапецией называют фигуру на плоскости, ограниченную осью ОХ,

прямыми с уравнениями  и  и кривой графика функции , определенной на отрезке .

Пусть  разбиение отрезка . В качестве объемлющей фигуры для криволинейной трапеции выбираем также криволинейную трапецию, построенной для

кусочно-постоянной функции . Аналогично, объемлемой фигурой для криволинейной трапеции будем считать криволинейную трапецию, построенную для кусочно-постоянной функции . Тогда  и .

Выражения для  и  являются интегральными суммами ( верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу) . Если разбиение , то сумма убывает,

а - возрастает. Если функция  интегрируема, то =.

Если  на отрезке , то площадь криволинейной трапеции равна -.

Если функция меняет знак на отрезке , то на отрезках , где  интеграл берется со знаком +, а на отрезках , где , интеграл берется со знаком - .

ОПР. Элементарной областью  на плоскости называют фигуру, ограниченную

 прямыми с уравнениями  и , графиками непрерывных функций

 и

ОПР. Элементарной областью  на плоскости называют фигуру, ограниченную

 прямыми с уравнениями  и , графиками непрерывных функций

 и .

ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ фигур  и .

  и .

ДОК. Если  и  - криволинейные трапеции , соответствующие функциям   и

 на отрезке и , то . Тогда  .

Если , но  на некоторых промежутках, то существует число , для которого для функций   и  выполняется условие

. Площади элементарных фигур, построенных для функций  и на отрезке  равны, т.е.

 .

Формула для площади фигуры доказывается аналогично. Площадь имеют фигуры, являющиеся конечным объединением элементарных областей типа  и .

ПРИМЕР 1. Площадь сектора окружности радиуса r с углом q .

РЕШЕНИЕ.

 .

Если граница криволинейной трапеции задается параметрически ,   ,

- возрастающая функция, , , . Тогда .

Действительно, по доказанному .

П 2. Вычисление площади в полярной системе координат.

ОПР. Элементарной областью  на плоскости называют фигуру, ограниченную лучами   и , кривой .

Вычислить интеграл