Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Приложение интеграла. Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.

П.1 ОБЪЕМ ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ по известным площадям сечений.

Предположим, что область  в пространстве такова, что ее сечение плоскостью, перпендикулярной оси ОХ и проходящей через точку на этой оси с абсциссой x , имеет площадь для каждого . Таким образом, на отрезке   может быть задана функция   и наша задача по этой функции уметь вычислять объем . Условием существования и интегрируемости функции может служить, например, требование кусочно – гладкости поверхности, ограничивающей .

ОПР. Прямым цилиндром, основанием которого является замкнутая область на плоскости с границей , называют тело  в пространстве , ограниченное цилиндрической поверхностью с направляющей  и образующей , перпендикулярной

плоскости и двумя плоскостями  и , параллельными . Расстояние между плоскостями  и  называют высотой цилиндра. Если граница  цилиндра задается уравнением с кусочно-гладкими функциями, то область  имеет площадь .

ОПР. Объемом прямого цилиндра называют число , где  - площадь

 - его высота.

Каждому разбиению  отрезка  и набору соответствует цилиндрическое тело ,являющееся объединением прямых цилиндров с основаниями и высотами .Тело называют вписанным в .

ОПР. Объемом тела  в пространстве называют число  равное пределу объемов цилиндрических тел, вписанных в , при неограниченном измельчении разбиения т.е.

 

ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБЪЕМА по сечениям.

Если функция площадей сечений интегрируема на отрезке , то

 .

ДОК. Объем цилиндрического тела , вписанного в тело , равен

и представляет собой интегральную сумму функции на отрезке . Тогда

.

ФОРМУЛА ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Если криволинейная трапеция, ограниченная осью ОХ, прямыми  и  и кривой графика функции , вращается вокруг оси ОХ, то в пространстве образуется тело, называемое телом вращения. Сечения тела плоскостями , перпендикулярными оси ОХ, являются круги радиуса , поэтому . Тогда .

ПРИМЕР 1. (Объем шара радиуса R )

РЕШЕНИЕ. Криволинейная трапеция ограничена окружностью :  на

отрезке ,

П 2. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ.

ПРИМЕР 2. ( площадь боковой поверхности конуса и усеченного конуса)

  и ,

где R, r – радиус верхнего и нижнего оснований, L - длина образующей.

РЕШЕНИЕ. Для доказательства первой формулы в окружность основания конуса вписываются многоугольники , а в конус с вершиной S - пирамиды , причем . Боковая поверхность пирамиды равна

, где - периметр вписанного многоугольника, - высоты боковых граней.

ОПР. Площадью боковой поверхности конуса называют число, равное .

При  и ,, , поэтому .

Если конус усеченный, то его можно достроить до прямого кругового конуса

с образующей . Тогда

.

Пусть кривая на плоскости задана параметрически , с непрерывно дифференцируемыми функциями . Каждому разбиению отрезка соответствует ломанная , вписанная в дугу кривой, соединяющая отрезками точки , . Каждая трапеция,

ограниченная осью ОХ, прямыми и и отрезком при вращении вокруг оси ОХ описывает усеченный конус. Объединение этих конусов назовем коническим телом, вписанным в тело вращения. Площадь его боковой поверхности равна

сумме площадей боковых поверхностей усеченных конусов :  , где , .

ОПР. Площадью поверхности вращения называют число , если оно существует.

ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ.

 

ДОК.

По теореме о среднем Лагранжа существует набор  и точек на отрезках , для которых  и  и набор , для которого .Тогда . Полученная сумма формально не является интегральной для функции , поскольку все наборы различные. Оценим величину .

 , где  - интегральная сумма для функции на отрезке . Тогда из интегрируемости функции следует, что для каждого существует ,такое, что  .

Для второго слагаемого с использованием неравенства треугольника получим оценку :

,

здесь , ,

 - колебания функций .

В предположении непрерывности функций  на , колебания  бесконечно малые функции в точке , поэтому существует  такое, что .

Тогда .

СЛЕДСТВИЕ. Если граница криволинейной трапеции задана в виде графика функции

 на отрезке , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

 

ПРИМЕР 3. Площадь поверхности сферы радиуса равна .

РЕШЕНИЕ. Сфера в пространстве получается как поверхность вращения окружности

, . .

ПРИМЕР 4. Найти площадь поверхности катеноида - поверхности вращения цепной линии :  на отрезке .

РЕШЕНИЕ. ,

.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Доказательство формулы для вычисления объема тела по известным площадям его сечений.

2. Объем тела вращения. Примеры.

3. Площадь поверхности тела вращения. Примеры.

Введение в анализ

Тема 1. Функция. Область определения

 Понятие функции. Пусть Х и У – два множества действительных чисел. Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу ставится в соответствие единственное число , то говорят, что на множестве Х задана функция, область значения которой расположена в У. Это можно записать так: .

Множество Х- называют областью определения функции, а множество У, состоящее из всех чисел вида множеством значений функции.

Если у является функцией от х, то пишут . Область определения обозначается через , а множество значений – через .

 Основные элементарные функции. Основными элементарными функциями называют следующие функции:

1) степенная функция

2) показательная функция , где а- любое положительное число, отличное от единицы:

3) логарифмическая функция , где а- любое положительное число, отличное от единицы:

4) тригонометрические функции:       

5) обратные тригонометрические функции:    , , .

Элементарными называются функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью четырёх арифметических действий и применённых конечное число раз.

Пример неэлементарной функции:

Графиком функции  называется множество точек плоскости хОу с координатами , где .

Функция , область определения которой симметрична относительно нуля, называется чётной, если  для  и нечётной, если , .

Произведение двух нечетных функций является четной функцией.

Функция  называется периодической, если существует положительное число Т такое, что при  и  выполняется равенство =.

Вычислить интеграл