Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Предел последовательности

10 Функцию  натурального аргумента называют последовательностью. Если Х=R, т.e. f(n)-вещественные числа, где , то такую последовательность назовём числовой и обозначим -ый член последовательности, а саму последовательность  

20. Число  называется пределом последовательности , если для любого числа , найдется такое натуральное число  , что при всех   выполняется неравенство: 

При этом пишут , или  при  и число а называют пределом последовательности . Говорят также, что последовательность   сходится к .

Справедливы следующие утверждения:

(4)

 

 (3)

 

(2)

 
 

 
 
Пример 1. Пусть . Доказать, что

Решение. В самом деле, зададим произвольное  и решим неравенство  или .Следовательно, для всякого   такое, что неравенство - выполняется для всех n>n0,, ч.т.д.

Пример 2. Если , то

Доказательство. Пусть пока  Неравенство  верно, если  т.е. если  Таким образом, мы доказали, что  при .

Пример 3. Пусть   Доказать, что

Доказательство. Имеем . Так как  при  (см. пример 2), то, применяя формулы (2) и (3), получим:

Пример 4. Показать, что при  последовательность  имеет пределом число .

Решение. Здесь . Определим при каком  выполняется неравенство . Так как то .

Итак, если , то , т.е. .

2. Предел функции

Пусть  определена в окрестности точки , за исключением, быть может точки

 Определение по Коши. Число А называется пределом функции  при  ( в точке), если для каждого числа  можно найти такое число , что  будет меньше , когда , при .

При этом пишут  или  при .

 Определение по Гейне. Число А называется пределом функции  в точке , если для любой последовательности, где, ,, сходящейся к , (т.е. ), последовательность соответствующих значений функций , , сходится к числу А, (т.е. ).

Эти два определения равносильны.

 Функцию называют бесконечно большой при , если для всякого числа М>0 существует зависящее от М число , такое, что  при всех  удовлетворяющих неравенству . Записывают коротко  или  при .

 Функцию   называют бесконечно малой при , если

Справедливые свойства:

1) ;

2) ;

3)  , (при ).

 Первый замечательный предел: .

 Второй замечательный предел: 

Пример 1. Найти следующие пределы:

а) ; б) .

Решение. а) , здесь числитель и знаменатель дроби при  стремятся к нулю (неопределённость вида ).

Имеем =.

Итак, =2.

б) =;

числитель дроби стремится к 75, а знаменатель стремится к нулю, т.е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь – бесконечно большая величина и .

Пример 2. Вычислить

Итак,

Пример 3. Найти пределы: а) , б) .

Решение. а) =

б)

Пример 4. Найти пределы: а)  б)

Решение. а)

б)

3. Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные

Функция называется  бесконечно малой при (или в точке ), если .

Пусть и - две бесконечно малые функции при .

1) Если , то  называются бесконечно малой более высокого порядка чем  (при );

2) Если , то  и  называются бесконечно малыми одного порядка (при );

3) Если , то  и  называются эквивалентными бесконечно малыми (при ). Эквивалентность обозначается так: ~ при.

Приведем таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при:  ~, ~~~~,

~~, ~~~,

Пример 5. Найти пределы:

а) , б) .

Решение. а) =

б) =

Пример 6. Найти предел:

 

 

Контрольные вопросы:

1. Понятие последовательности.

2. Понятие предела последовательности

4. Определение предела функции.

5. Свойства пределов.

6. Два замечательных предела.

7. Понятие эквивалентных бесконечно малых функций.

8.Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.

Задания.

1. Вычислить пределы:

а)  б)   в)  г)

2.Найти пределы последовательностей: 1) ;2) ; 3) ; 4) ; 5)

3. Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными вычислить следующие пределы:

а)  б)   в)

Тема 3. Непрерывность функции

Функция   называется непрерывной в точке , если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ;

2) существуют односторонние пределы функции в этой точке ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. ,

Обозначая  (приращение аргумента) и , (приращение функции), условие непрерывности можно записать так: , т.е. функция  непрерывна в точке  тогда и только тогда, тогда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.

Функция   называется непрерывной в точке справа, если выполняется условие   (когда  стремится к  справа, оставаясь больше ).

Если , то говорят, что функция  непрерывна слева (когда стремится к  слева, оставаясь меньше  ).

Если  непрерывна в точке  слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

 Функция   имеет разрыв в точке , если она определена в сколь угодно близких точках к , но в самой точке  нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.

Конечным разрывом или разрывом первого рода называется разрыв функции  в точке , если существуют конечные односторонние пределы  и .

Скачком функции  в точке  называется разность его односторонних пределов , если они различны.

Если  =, то точка  называется точкой устранимого разрыва.

Все другие случаи разрыва функции называются разрывами 2-го рода.

Если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то разрыв функции называется бесконечным.

Пример 1.

Исследовать функцию на непрерывность; непрерывность справа и слева и установить характер точек разрыва, где

Решение. При  можно сократить на .

Следовательно,  при . Легко видеть, что . Значит, при  функция будет разрывной, так как предел функции не равен значению функции в этой точке.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Найдем односторонние пределы в точке , т.е.  .

В точке  функция  имеет разрыв 2 рода. Так как предел слева в точке   равен значению функции в этой точке, то функция непрерывна слева в точке . При остальных значениях  функция непрерывна (по теореме непрерывности суперпозиции функций).

Пример 3. Доказать непрерывность функции .

Решение. Пусть  - произвольное значение на числовой прямой.

Найдем и составим разность

Оценим полученное выражение в правой части по абсолютной величине .

Итак, отмечаем, что .

Контрольные вопросы

1. Определение непрерывной функции в точке.

2. Разрыв функции в точке. Классификация разрывов.

3. Свойства непрерывных функций.

Задания

1) Показать, что при  функция  имеет разрыв.

2) Найти точки разрыва функции .

3) Каков характер разрыва функции  в точке .

4) Исследовать на непрерывность функции

а) ; б)

Вычислить интеграл