Математика решение задач контрольной работы

Предел последовательности

10 Функцию  натурального аргумента называют последовательностью. Если Х=R, т.e. f(n)-вещественные числа, где , то такую последовательность назовём числовой и обозначим -ый член последовательности, а саму последовательность  

20. Число  называется пределом последовательности , если для любого числа , найдется такое натуральное число  , что при всех   выполняется неравенство: 

При этом пишут , или  при  и число а называют пределом последовательности . Говорят также, что последовательность   сходится к .

Справедливы следующие утверждения:

(4)

 

 (3)

 

(2)

 
 

 
 
Пример 1. Пусть . Доказать, что

Решение. В самом деле, зададим произвольное  и решим неравенство  или .Следовательно, для всякого   такое, что неравенство - выполняется для всех n>n0,, ч.т.д.

Пример 2. Если , то

Доказательство. Пусть пока  Неравенство  верно, если  т.е. если  Таким образом, мы доказали, что  при .

Пример 3. Пусть   Доказать, что

Доказательство. Имеем . Так как  при  (см. пример 2), то, применяя формулы (2) и (3), получим:

Пример 4. Показать, что при  последовательность  имеет пределом число .

Решение. Здесь . Определим при каком  выполняется неравенство . Так как то .

Итак, если , то , т.е. .

2. Предел функции

Пусть  определена в окрестности точки , за исключением, быть может точки

 Определение по Коши. Число А называется пределом функции  при  ( в точке), если для каждого числа  можно найти такое число , что  будет меньше , когда , при .

При этом пишут  или  при .

 Определение по Гейне. Число А называется пределом функции  в точке , если для любой последовательности, где, ,, сходящейся к , (т.е. ), последовательность соответствующих значений функций , , сходится к числу А, (т.е. ).

Эти два определения равносильны.

 Функцию называют бесконечно большой при , если для всякого числа М>0 существует зависящее от М число , такое, что  при всех  удовлетворяющих неравенству . Записывают коротко  или  при .

 Функцию   называют бесконечно малой при , если

Справедливые свойства:

1) ;

2) ;

3)  , (при ).

 Первый замечательный предел: .

 Второй замечательный предел: 

Пример 1. Найти следующие пределы:

а) ; б) .

Решение. а) , здесь числитель и знаменатель дроби при  стремятся к нулю (неопределённость вида ).

Имеем =.

Итак, =2.

б) =;

числитель дроби стремится к 75, а знаменатель стремится к нулю, т.е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь – бесконечно большая величина и .

Пример 2. Вычислить

Итак,

Пример 3. Найти пределы: а) , б) .

Решение. а) =

б)

Пример 4. Найти пределы: а)  б)

Решение. а)

б)

3. Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные

Функция называется  бесконечно малой при (или в точке ), если .

Пусть и - две бесконечно малые функции при .

1) Если , то  называются бесконечно малой более высокого порядка чем  (при );

2) Если , то  и  называются бесконечно малыми одного порядка (при );

3) Если , то  и  называются эквивалентными бесконечно малыми (при ). Эквивалентность обозначается так: ~ при.

Приведем таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при:  ~, ~~~~,

~~, ~~~,

Пример 5. Найти пределы:

а) , б) .

Решение. а) =

б) =

Пример 6. Найти предел:

 

 

Контрольные вопросы:

1. Понятие последовательности.

2. Понятие предела последовательности

4. Определение предела функции.

5. Свойства пределов.

6. Два замечательных предела.

7. Понятие эквивалентных бесконечно малых функций.

8.Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.

Задания.

1. Вычислить пределы:

а)  б)   в)  г)

2.Найти пределы последовательностей: 1) ;2) ; 3) ; 4) ; 5)

3. Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными вычислить следующие пределы:

а)  б)   в)

Тема 3. Непрерывность функции

Функция   называется непрерывной в точке , если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ;

2) существуют односторонние пределы функции в этой точке ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. ,

Обозначая  (приращение аргумента) и , (приращение функции), условие непрерывности можно записать так: , т.е. функция  непрерывна в точке  тогда и только тогда, тогда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.

Функция   называется непрерывной в точке справа, если выполняется условие   (когда  стремится к  справа, оставаясь больше ).

Если , то говорят, что функция  непрерывна слева (когда стремится к  слева, оставаясь меньше  ).

Если  непрерывна в точке  слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

 Функция   имеет разрыв в точке , если она определена в сколь угодно близких точках к , но в самой точке  нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.

Конечным разрывом или разрывом первого рода называется разрыв функции  в точке , если существуют конечные односторонние пределы  и .

Скачком функции  в точке  называется разность его односторонних пределов , если они различны.

Если  =, то точка  называется точкой устранимого разрыва.

Все другие случаи разрыва функции называются разрывами 2-го рода.

Если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то разрыв функции называется бесконечным.

Пример 1.

Исследовать функцию на непрерывность; непрерывность справа и слева и установить характер точек разрыва, где

Решение. При  можно сократить на .

Следовательно,  при . Легко видеть, что . Значит, при  функция будет разрывной, так как предел функции не равен значению функции в этой точке.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Найдем односторонние пределы в точке , т.е.  .

В точке  функция  имеет разрыв 2 рода. Так как предел слева в точке   равен значению функции в этой точке, то функция непрерывна слева в точке . При остальных значениях  функция непрерывна (по теореме непрерывности суперпозиции функций).

Пример 3. Доказать непрерывность функции .

Решение. Пусть  - произвольное значение на числовой прямой.

Найдем и составим разность

Оценим полученное выражение в правой части по абсолютной величине .

Итак, отмечаем, что .

Контрольные вопросы

1. Определение непрерывной функции в точке.

2. Разрыв функции в точке. Классификация разрывов.

3. Свойства непрерывных функций.

Задания

1) Показать, что при  функция  имеет разрыв.

2) Найти точки разрыва функции .

3) Каков характер разрыва функции  в точке .

4) Исследовать на непрерывность функции

а) ; б)

Вычислить интеграл