Математика решение задач контрольной работы

Раздел «Дифференцирование функции одной переменной»

Тема 4. Производная функции

Пусть функция   определена на интервале .Определим:  - приращение аргумента  в точке , а  - приращение функции в точке .

Если существует конечный предел

, то он называется производной функции в точке .

Значение производной  - есть угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке, абсцисса которой  есть

Если  - закон прямолинейного движения точки, то первая производная пути по времени -есть скорость этого движения.

. Основные правила дифференцирования.

Пусть  - некоторая постоянная, ,  - функции, имеющие производные.

Справедливы следующие правила дифференцирования:

1. ; 2. ; 3. ; 4.

5. .

6. Производная сложной функции.

Если функции  и  имеют конечные производные, то

7. Дифференцирование функции, заданной параметрически..

Пусть зависимость между и функцией задана параметрически в виде двух уравнений  где -вспомогательная переменная, называемая параметром.

Производная  функции, заданной параметрически определяется по правилу , или .

8. Производная обратной функции.

Пусть функция  в некоторой окрестности точки  возрастает (или убывает) и является непрерывной. Пусть кроме того, функция  дифференцируема, в точке  и производная  отлична от нуля. Тогда обратная функция   определена в некоторой окрестности соответствующей точки , дифференцируема в этой точке и имеет в этой точке производную, равную .

9. Производная функции , , где и суть функции от , имеющие в данной точке производные  и  есть:  (метод логарифмического дифференцирования)

Пример 1. Исходя из определения производной, найти производную функции .

Решение. Зададим приращение , такое, что .

Тогда . Поэтому . Переходим к пределу при : ; т.е. .

Пример 2. Исходя из определения производной функции, найти производную функции .

Решение. Находим

Откуда  и, следовательно . Итак, .

. Формулы дифференцирования основных элементарных функций:

1. ; 11. ;

2. ; 12. ;

3. ; 13. ;

4. ; 14. ;

5. ; 15. ;

6. ; 16. ;

7. ; 17. ;

8. ; 18. ;

9. ; 19. .

10. ;

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. .

Пример 4. Найти производную .

Решение. Берем производную от  как сложной функции , где , . , где , ;

Итак, .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. Имеем , откуда

,

.

Пример 6. Найти , если , .

Решение. Имеем

Пример 7. Найти производную .

Решение. Показательная функция , определена на бесконечной прямой и служит обратной для логарифмической функции .

Согласно вышеуказанному утверждению, функция  дифференцируема в любой точке  и для ее производной справедлива формула .

Итак, .

Пример 8. Вычислить производную .

Решение. Функция , определенная на интервале , служит обратной для функции , определенной на интервале . Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, получим: .

Мы взяли перед корнем знак +, т.к.  положителен всюду на интервале . Итак .

Вычислить интеграл