Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Раздел «Дифференцирование функции одной переменной»

Тема 4. Производная функции

Пусть функция   определена на интервале .Определим:  - приращение аргумента  в точке , а  - приращение функции в точке .

Если существует конечный предел

, то он называется производной функции в точке .

Значение производной  - есть угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке, абсцисса которой  есть

Если  - закон прямолинейного движения точки, то первая производная пути по времени -есть скорость этого движения.

. Основные правила дифференцирования.

Пусть  - некоторая постоянная, ,  - функции, имеющие производные.

Справедливы следующие правила дифференцирования:

1. ; 2. ; 3. ; 4.

5. .

6. Производная сложной функции.

Если функции  и  имеют конечные производные, то

7. Дифференцирование функции, заданной параметрически..

Пусть зависимость между и функцией задана параметрически в виде двух уравнений  где -вспомогательная переменная, называемая параметром.

Производная  функции, заданной параметрически определяется по правилу , или .

8. Производная обратной функции.

Пусть функция  в некоторой окрестности точки  возрастает (или убывает) и является непрерывной. Пусть кроме того, функция  дифференцируема, в точке  и производная  отлична от нуля. Тогда обратная функция   определена в некоторой окрестности соответствующей точки , дифференцируема в этой точке и имеет в этой точке производную, равную .

9. Производная функции , , где и суть функции от , имеющие в данной точке производные  и  есть:  (метод логарифмического дифференцирования)

Пример 1. Исходя из определения производной, найти производную функции .

Решение. Зададим приращение , такое, что .

Тогда . Поэтому . Переходим к пределу при : ; т.е. .

Пример 2. Исходя из определения производной функции, найти производную функции .

Решение. Находим

Откуда  и, следовательно . Итак, .

. Формулы дифференцирования основных элементарных функций:

1. ; 11. ;

2. ; 12. ;

3. ; 13. ;

4. ; 14. ;

5. ; 15. ;

6. ; 16. ;

7. ; 17. ;

8. ; 18. ;

9. ; 19. .

10. ;

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. .

Пример 4. Найти производную .

Решение. Берем производную от  как сложной функции , где , . , где , ;

Итак, .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. Имеем , откуда

,

.

Пример 6. Найти , если , .

Решение. Имеем

Пример 7. Найти производную .

Решение. Показательная функция , определена на бесконечной прямой и служит обратной для логарифмической функции .

Согласно вышеуказанному утверждению, функция  дифференцируема в любой точке  и для ее производной справедлива формула .

Итак, .

Пример 8. Вычислить производную .

Решение. Функция , определенная на интервале , служит обратной для функции , определенной на интервале . Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, получим: .

Мы взяли перед корнем знак +, т.к.  положителен всюду на интервале . Итак .

Вычислить интеграл