Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Понятие дифференциала

Пусть функция имеет в точке  конечную производную, тогда ее приращение можно записать в виде , где .

Главная, линейная относительно  часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается : .

При , получим , поэтому дифференциал функции примет вид .

Основные свойства дифференциала

1) где = const,

2)

3) ,

4) ,

5)

6).

Применение дифференциала для приближенных вычислений.

При достаточно малых  приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т. е.  и .

Пример 9. Найти дифференциал функции .

Решение. Найдем производную данной функции.

Следовательно, по определению дифференциала функции получим

.

Пример1 0. Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение

Решение. Рассмотрим функцию. Полагая и применяя формулу, получим

.

Тема 6. Производные высших порядков

Производной второго порядка (второй производной) функции  называется производная от производной . Вторая производная обозначается так: , или , или .

Если  - закон прямолинейного движения точки, то вторая производная пути по времени  есть ускорение этого движения.

Аналогично производная третьего порядка функции  есть производная производной второго порядка  и т.д., производной n-го порядка от функции  называется производная от производной -го порядка . Обозначается n-я производная так:  или , или .

Пример 10. Дана функция. Найти: , , ,…

Решение. ; ; ; ;

.

Пример 11. Дана функция . Найти: .

Решение. ,

Контрольные вопросы.

1.Производная функции.

2.Основные правила дифференцирования.

3.Производная обратной функции.

4.Формулы дифференцирования основных элементарных функций.

5.Понятия дифференциала функции.

6.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

7.Производные высших порядков.

Задания.

1. Пользуясь определением производной вычислить производные следующих функций:

1) ;

2) .

2. Найти производные и дифференциалы следующих функций

;

.

3.Найти производные функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

4.Найти ,

1) если , ;

2) если , ;

3) если , .

5.Вычислить с помощью дифференциала приближенные значения

,, , .

6.Найти производные

1)обратных тригонометрических функций

.

2) обратную к .

7. Найти , , ,…, для функций:

1) . 2) . 3) . 4) .

Контрольные задания

Найти производные следующих функций:

а) ; б) ; в) .

Решение. Вычислим производные данных функций:

а) .

б)

 

в).

Найти производные функций:

а) ; б) .

Решение. а) .

б) .

Найти производную 2-ого порядка от функции .

Решение. . Дифференцируя производную , получаем: .

Найти дифференциалы функции:

а) ; б) .

Решение. а) Вычислим производную функции:

.

Дифференциал функции найдем по формуле : .

б) Вычислим дифференциал по аналогии с предыдущим примером:

.

Вычислить интеграл