Понятие дифференциала
Пусть функция
имеет
в точке
конечную производную
, тогда ее приращение можно записать
в виде
, где
.
Главная, линейная относительно
часть
приращения функции называется дифференциалом функции
и обозначается
:
.
При
, получим
,
поэтому дифференциал функции
примет вид
.
Основные свойства
дифференциала
1)
где
=
const,
2) 
3)
,
4)
,
5) 
6)
.
Применение дифференциала
для приближенных вычислений.
При достаточно малых
приращение функции приближенно равно ее дифференциалу,
т. е.
и
.
Пример 9. Найти дифференциал функции
.
Решение. Найдем производную данной функции
.
Следовательно, по определению дифференциала функции получим
.
Пример1 0. Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение

Решение. Рассмотрим функцию
. Полагая
и применяя формулу
, получим
.
Тема 6. Производные высших порядков
Производной второго порядка (второй производной) функции
называется производная от производной
. Вторая производная
обозначается так:
, или
, или
.
Если
- закон прямолинейного
движения точки, то вторая производная пути по времени
есть ускорение этого движения.
Аналогично производная третьего порядка функции
есть производная производной второго
порядка
и т.д., производной n-го порядка от функции
называется производная от производной
-го порядка
. Обозначается n-я производная так:
или
, или
.
Пример 10. Дана функция
. Найти:
,
,
,…
Решение.
;
;
;
;
;
.
Пример 11. Дана функция
. Найти:
.
Решение.
,

Контрольные вопросы.
1.Производная функции.
2.Основные правила дифференцирования.
3.Производная обратной функции.
4.Формулы дифференцирования основных элементарных функций.
5.Понятия дифференциала функции.
6.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
7.Производные высших порядков.
Задания.
1. Пользуясь определением производной вычислить производные следующих
функций:
1)
;
2)
.
2. Найти производные и дифференциалы следующих функций
;
;
;
;
;
;
;
;
.
3.Найти производные функций:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
4.Найти
,
1) если
,
;
2) если
,
;
3) если
,
.
5.Вычислить с помощью дифференциала приближенные значения
,
,
,
.
6.Найти производные
1)обратных тригонометрических функций
;
;
;
;
.
2)
обратную к
.
7. Найти
,
,
,…,
для функций:
1)
. 2)
.
3)
. 4)
.
Контрольные задания
Найти производные следующих функций:
а)
; б)
;
в)
.
Решение. Вычислим производные данных функций:
а)
.
б) 

в)
.
Найти производные функций:
а)
; б)
.
Решение. а)
.
б)
.
Найти производную 2-ого порядка от функции
.
Решение.
. Дифференцируя производную
, получаем:
.
Найти дифференциалы функции:
а)
; б)
.
Решение. а) Вычислим производную функции:
.
Дифференциал функции найдем по формуле
:
.
б) Вычислим дифференциал по аналогии с предыдущим примером:

.