Математика решение задач контрольной работы

Понятие дифференциала

Пусть функция имеет в точке  конечную производную, тогда ее приращение можно записать в виде , где .

Главная, линейная относительно  часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается : .

При , получим , поэтому дифференциал функции примет вид .

Основные свойства дифференциала

1) где = const,

2)

3) ,

4) ,

5)

6).

Применение дифференциала для приближенных вычислений.

При достаточно малых  приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т. е.  и .

Пример 9. Найти дифференциал функции .

Решение. Найдем производную данной функции.

Следовательно, по определению дифференциала функции получим

.

Пример1 0. Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение

Решение. Рассмотрим функцию. Полагая и применяя формулу, получим

.

Тема 6. Производные высших порядков

Производной второго порядка (второй производной) функции  называется производная от производной . Вторая производная обозначается так: , или , или .

Если  - закон прямолинейного движения точки, то вторая производная пути по времени  есть ускорение этого движения.

Аналогично производная третьего порядка функции  есть производная производной второго порядка  и т.д., производной n-го порядка от функции  называется производная от производной -го порядка . Обозначается n-я производная так:  или , или .

Пример 10. Дана функция. Найти: , , ,…

Решение. ; ; ; ; ;

.

Пример 11. Дана функция . Найти: .

Решение. ,

Контрольные вопросы.

1.Производная функции.

2.Основные правила дифференцирования.

3.Производная обратной функции.

4.Формулы дифференцирования основных элементарных функций.

5.Понятия дифференциала функции.

6.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

7.Производные высших порядков.

Задания.

1. Пользуясь определением производной вычислить производные следующих функций:

1) ;

2) .

2. Найти производные и дифференциалы следующих функций

; ;  ; ; 

; ;  ;

; .

3.Найти производные функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

4.Найти ,

1) если , ;

2) если , ;

3) если , .

5.Вычислить с помощью дифференциала приближенные значения

,, , .

6.Найти производные

1)обратных тригонометрических функций

; ;  ; ; .

2) обратную к .

7. Найти , , ,…, для функций:

1) . 2) . 3) . 4) .

Контрольные задания

Найти производные следующих функций:

а) ; б) ; в) .

Решение. Вычислим производные данных функций:

а) .

б)

 

в).

Найти производные функций:

а) ; б) .

Решение. а) .

б) .

Найти производную 2-ого порядка от функции .

Решение. . Дифференцируя производную , получаем: .

Найти дифференциалы функции:

а) ; б) .

Решение. а) Вычислим производную функции:

.

Дифференциал функции найдем по формуле : .

б) Вычислим дифференциал по аналогии с предыдущим примером:

.