Применение производной к исследованию функций.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Фрмула Тейлора
Теорема Ролля. Если функция
непрерывна на отрезке
, дифференцируема в интервале
и
то в интервале
найдётся хотя бы одно значение
, при котором 
Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция
непрерывна на отрезке
, дифференцируема в интервале
,
то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение
, при котором выполняется равенство
(геометрический смысл: касательная
в точке
параллельна
секущей АВ).
Теорема Коши. Если функции
и
непрерывны на отрезке
и дифференцируемы в интервале
, причём
то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение
, при котором
где
.
Формула Тейлора. Если
функция
имеет в точке
все производные до порядка
включительно, то

Это соотношение называется формулой Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано.
При
= 0 получаем частный
случай формулы Тейлора-формулу Маклорена 
Приведем разложение некоторых функций по формуле Маклорена:
,
,



Пример 1. Выполняется ли теорема Ролля для функции
если а=-3; в=3. Найти значение
.
Решение. Так как функция
непрерывна и дифференцируема при всех значениях х и её
значения на концах отрезка
равны
Следовательно, условия теоремы Ролля на этом отрезке
выполняются. Значение
определяем из уравнения
, т.е.
.
Пример 2. На дуге АВ кривой
найти точку М, в которой касательная параллельна хорде
АВ, если А(1,3) и В(3,3).
Решение. Функция
непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. По
теореме Лагранжа между двумя значениями а=1 и в=3 существует значение
х=
, удовлетворяющее
равенству:
где 
Подставив соответствующие значения, получим

Отсюда
. Таким образом, точка М имеет координаты М(2;4).
Пример 3. Проверить теорему Коши для функции
=х3 и
и найти с.
Решение. Из формулы Коши имеем
, т.е.
. Отсюда, получим
.
Пример 4.Разложить функцию
по формуле Тейлора в окрестности точки
.
Решение. Представим, данную функцию в виде
.
Далее воспользуемся формулой
.
Будем иметь

Пример 5. Вычислить предел, используя разложение по формуле Тейлора
.
Решение. Так как
и
то
получим

Контрольные вопросы.
1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
2.Формула Тейлора. Формула Маклорена.
3.Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
Задания.
1. Применима ли теорема Ролля к функции
на отрезке
. Пояснить графически.
2. Проверить теорему Лагранжа и найти с для функций:
а)
на отрезке 
б)
на отрезке 
3.Проверить теорему Коши и найти с для функций:
а)
и
на отрезке
,
б) х2 и
на отрезке
.
4. Разложить функцию
по формуле Тейлора в окрестности точки
.
5. Найти пределы, используя разложение по формуле Тейлора
а)
,
б)
.