Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Применение производной к исследованию функций.

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Фрмула Тейлора

*Теорема Ролля. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале  и  то в интервале  найдётся хотя бы одно значение , при котором

* Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале , то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором выполняется равенство  (геометрический смысл: касательная в точке  параллельна секущей АВ).

*Теорема Коши. Если функции  и  непрерывны на отрезке  и дифференцируемы в интервале , причём  то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором   где .

Формула Тейлора. Если функция  имеет в точке все производные до порядка   включительно, то

Это соотношение называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

При = 0 получаем частный случай формулы Тейлора-формулу Маклорена

Приведем разложение некоторых функций по формуле Маклорена:

,

,

Пример 1. Выполняется ли теорема Ролля для функции  если а=-3; в=3. Найти значение .

Решение. Так как функция  непрерывна и дифференцируема при всех значениях х и её значения на концах отрезка  равны  Следовательно, условия теоремы Ролля на этом отрезке выполняются. Значение  определяем из уравнения , т.е..

Пример 2. На дуге АВ кривой  найти точку М, в которой касательная параллельна хорде АВ, если А(1,3) и В(3,3).

Решение. Функция  непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. По теореме Лагранжа между двумя значениями а=1 и в=3 существует значение х=, удовлетворяющее равенству:  где

Подставив соответствующие значения, получим

Отсюда . Таким образом, точка М имеет координаты М(2;4).

Пример 3. Проверить теорему Коши для функции =х3 и  и найти с.

Решение. Из формулы Коши имеем , т.е. . Отсюда, получим .

Пример 4.Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

Решение. Представим, данную функцию в виде

.

Далее воспользуемся формулой .

Будем иметь

Пример 5. Вычислить предел, используя разложение по формуле Тейлора .

Решение. Так как

 и то получим

Контрольные вопросы.

1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

2.Формула Тейлора. Формула Маклорена.

3.Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.


Задания.

1. Применима ли теорема Ролля к функции  на отрезке . Пояснить графически.

2. Проверить теорему Лагранжа и найти с для функций:

а)  на отрезке

б)  на отрезке

3.Проверить теорему Коши и найти с для функций:

а)  и   на отрезке

б) х2 и  на отрезке .

4. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

5. Найти пределы, используя разложение по формуле Тейлора

а) ,

б) .

Вычислить интеграл