Математика решение задач контрольной работы

Применение производной к исследованию функций.

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Фрмула Тейлора

*Теорема Ролля. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале  и  то в интервале  найдётся хотя бы одно значение , при котором

* Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале , то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором выполняется равенство  (геометрический смысл: касательная в точке  параллельна секущей АВ).

*Теорема Коши. Если функции  и  непрерывны на отрезке  и дифференцируемы в интервале , причём  то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение , при котором   где .

Формула Тейлора. Если функция  имеет в точке все производные до порядка   включительно, то

Это соотношение называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

При = 0 получаем частный случай формулы Тейлора-формулу Маклорена

Приведем разложение некоторых функций по формуле Маклорена:

,

,

Пример 1. Выполняется ли теорема Ролля для функции  если а=-3; в=3. Найти значение .

Решение. Так как функция  непрерывна и дифференцируема при всех значениях х и её значения на концах отрезка  равны  Следовательно, условия теоремы Ролля на этом отрезке выполняются. Значение  определяем из уравнения , т.е..

Пример 2. На дуге АВ кривой  найти точку М, в которой касательная параллельна хорде АВ, если А(1,3) и В(3,3).

Решение. Функция  непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. По теореме Лагранжа между двумя значениями а=1 и в=3 существует значение х=, удовлетворяющее равенству:  где

Подставив соответствующие значения, получим

Отсюда . Таким образом, точка М имеет координаты М(2;4).

Пример 3. Проверить теорему Коши для функции =х3 и  и найти с.

Решение. Из формулы Коши имеем , т.е. . Отсюда, получим .

Пример 4.Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

Решение. Представим, данную функцию в виде

.

Далее воспользуемся формулой .

Будем иметь

Пример 5. Вычислить предел, используя разложение по формуле Тейлора .

Решение. Так как

 и то получим

Контрольные вопросы.

1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

2.Формула Тейлора. Формула Маклорена.

3.Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.


Задания.

1. Применима ли теорема Ролля к функции  на отрезке . Пояснить графически.

2. Проверить теорему Лагранжа и найти с для функций:

а)  на отрезке

б)  на отрезке

3.Проверить теорему Коши и найти с для функций:

а)  и   на отрезке

б) х2 и  на отрезке .

4. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки .

5. Найти пределы, используя разложение по формуле Тейлора

а) ,

б) .

Вычислить интеграл