Применение производной к исследованию функций.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Фрмула Тейлора
Теорема Ролля. Если функция 
непрерывна на отрезке 
, дифференцируема в интервале 
и 
то в интервале найдётся хотя бы одно значение 
, при котором 
Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале 
,
то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение 
, при котором выполняется равенство 
(геометрический смысл: касательная
в точке параллельна
секущей АВ).
Теорема Коши. Если функции и 
непрерывны на отрезке 
и дифференцируемы в интервале , причём 
то в этом интервале найдётся хотя бы одно значение
, при котором 
где 
.
Формула Тейлора. Если
функция имеет в точке
все производные до порядка 
включительно, то
Это соотношение называется формулой Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано.
При = 0 получаем частный
случай формулы Тейлора-формулу Маклорена 
Приведем разложение некоторых функций по формуле Маклорена:
,
,
Пример 1. Выполняется ли теорема Ролля для функции 
если а=-3; в=3. Найти значение .
Решение. Так как функция 
непрерывна и дифференцируема при всех значениях х и её
значения на концах отрезка 
равны 
Следовательно, условия теоремы Ролля на этом отрезке
выполняются. Значение определяем из уравнения 
, т.е.
.
Пример 2. На дуге АВ кривой 
найти точку М, в которой касательная параллельна хорде
АВ, если А(1,3) и В(3,3).
Решение. Функция непрерывна и дифференцируема при всех значениях х. По
теореме Лагранжа между двумя значениями а=1 и в=3 существует значение
х=, удовлетворяющее
равенству: 
где 
Подставив соответствующие значения, получим
Отсюда 
. Таким образом, точка М имеет координаты М(2;4).
Пример 3. Проверить теорему Коши для функции =х3 и 
и найти с.
Решение. Из формулы Коши имеем 
, т.е. 
. Отсюда, получим 
.
Пример 4.Разложить функцию
по формуле Тейлора в окрестности точки 
.
Решение. Представим, данную функцию в виде
.
Далее воспользуемся формулой 
.
Будем иметь
Пример 5. Вычислить предел, используя разложение по формуле Тейлора
.
Решение. Так как
и 
то
получим
Контрольные вопросы.
1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
2.Формула Тейлора. Формула Маклорена.
3.Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
Задания.
1. Применима ли теорема Ролля к функции 
на отрезке 
. Пояснить графически.
2. Проверить теорему Лагранжа и найти с для функций:
а) 
на отрезке 
б) 
на отрезке 
3.Проверить теорему Коши и найти с для функций:
а) 
и 
на отрезке 
,
б) х2 и 
на отрезке 
.
4. Разложить функцию
по формуле Тейлора в окрестности точки 
.
5. Найти пределы, используя разложение по формуле Тейлора
а) 
,
б) 
.