Математика решение задач контрольной работы

Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей)

Первое правило Лопиталя.

Если функции и определены и непрерывны в некоторой окрестности точки  и при  , , и производные и существуют в упомянутой окрестности, за исключением, быть может, самой точки и существует . Тогда .

Второе правило Лопиталя.

Если функции и определены и непрерывны в некоторой окрестности точки  и при  , , а производные и существуют в упомянутой окрестности, за исключением, быть может самой точки и существует . Тогда .

Пример 1. Вычислить предел

Решение. Применяя первое правило Лопиталя получим =.

Пример 2. Вычислить предел .

Решение. Применяя первое правило Лопиталя получим .

Контрольные вопросы.

1.Первое правило Лопиталя.

2.Второе правило Лопиталя.

Задания.

1.Вычислить пределы, применяя правила Лопиталя:

1)  , 2)   ,

3) , 4) .

Тема 9. Касательная и нормаль к кривой

Если кривая задана в декартовой системе координат уравнением , то, где - угол между касательной к этой кривой в точке с абсциссой  и положительным направлением оси .

Если кривая задана уравнением, то уравнения касательной и нормали к этой кривой в точке  имеют соответственно вид:

 , (1)

. (2)

Угол между двумя кривымии в точке их пересечения  определяется как угол между прямыми, касательными к этим кривым в точке их пересечения по формуле  (3), где  угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения и равны соответственно , .

Пример 1.Составить уравнение касательной и нормали к кривой  в точке .

Решение. Подставляя в заданное уравнение параболы значение , находим ординату точки касания . Находим угловой коэффициент касательной, , следовательно,. Подставляя найденные значение в уравнение (1), имеем уравнение касательной , подставляя эти же значения в уравнение (2), получим уравнение нормали

Пример 2. Найти углы под которыми пересекаются прямая  и парабола .

Решение. Найдем точки пересечения кривых, решив систему уравнений  

Отсюда имеем , . Далее, определим угловые коэффициенты касательных к параболе в точках и .Соответственно имеем . Угловой коэффициент прямой во всех точках один и тот же и равен в нашем случае 2. Далее находим углы  ,  .

Пример 3. Определить в каких точках заданной линии касательная к этой линии параллельна прямой  и написать уравнение этой касательной .

Решение. Находим производную . Далее находим значение  из уравнения . Имеем, .Значения функции  при  есть  и . Отсюда имеем,  и  точки заданной линии  в которых касательная к этой линии параллельна данной прямой. Найдем теперь уравнения этих касательных. Используя формулу (1), получим -уравнение касательной в точке ,  -уравнение касательной в точке .

Контрольные вопросы.

1.Геометрический смысл производной.

2.Касательная и нормаль к кривой.

3.Угол между двумя кривыми.

4.Другие приложения производной.

Задания.

1.Найти углы, под которыми пересекаются эллипс и парабола ,  .

2.Определить в каких точках заданной линии касательная к этой линии параллельна прямой  и написать уравнение этой касательной

1) ;  2)  ,; 3), .

3.Найти угол между кривой  и прямой

Вычислить интеграл