Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей)

Первое правило Лопиталя.

Если функции и определены и непрерывны в некоторой окрестности точки  и при  , , и производные и существуют в упомянутой окрестности, за исключением, быть может, самой точки и существует . Тогда .

Второе правило Лопиталя.

Если функции и определены и непрерывны в некоторой окрестности точки  и при  , , а производные и существуют в упомянутой окрестности, за исключением, быть может самой точки и существует . Тогда .

Пример 1. Вычислить предел

Решение. Применяя первое правило Лопиталя получим =.

Пример 2. Вычислить предел .

Решение. Применяя первое правило Лопиталя получим .

Контрольные вопросы.

1.Первое правило Лопиталя.

2.Второе правило Лопиталя.

Задания.

1.Вычислить пределы, применяя правила Лопиталя:

1)  , 2)   ,

3) , 4) .

Тема 9. Касательная и нормаль к кривой

Если кривая задана в декартовой системе координат уравнением , то, где - угол между касательной к этой кривой в точке с абсциссой  и положительным направлением оси .

Если кривая задана уравнением, то уравнения касательной и нормали к этой кривой в точке  имеют соответственно вид:

 , (1)

. (2)

Угол между двумя кривымии в точке их пересечения  определяется как угол между прямыми, касательными к этим кривым в точке их пересечения по формуле  (3), где  угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения и равны соответственно , .

Пример 1.Составить уравнение касательной и нормали к кривой  в точке .

Решение. Подставляя в заданное уравнение параболы значение , находим ординату точки касания . Находим угловой коэффициент касательной, , следовательно,. Подставляя найденные значение в уравнение (1), имеем уравнение касательной , подставляя эти же значения в уравнение (2), получим уравнение нормали

Пример 2. Найти углы под которыми пересекаются прямая  и парабола .

Решение. Найдем точки пересечения кривых, решив систему уравнений  

Отсюда имеем , . Далее, определим угловые коэффициенты касательных к параболе в точках и .Соответственно имеем . Угловой коэффициент прямой во всех точках один и тот же и равен в нашем случае 2. Далее находим углы  ,  .

Пример 3. Определить в каких точках заданной линии касательная к этой линии параллельна прямой  и написать уравнение этой касательной .

Решение. Находим производную . Далее находим значение  из уравнения . Имеем, .Значения функции  при  есть  и . Отсюда имеем,  и  точки заданной линии  в которых касательная к этой линии параллельна данной прямой. Найдем теперь уравнения этих касательных. Используя формулу (1), получим -уравнение касательной в точке ,  -уравнение касательной в точке .

Контрольные вопросы.

1.Геометрический смысл производной.

2.Касательная и нормаль к кривой.

3.Угол между двумя кривыми.

4.Другие приложения производной.

Задания.

1.Найти углы, под которыми пересекаются эллипс и парабола ,  .

2.Определить в каких точках заданной линии касательная к этой линии параллельна прямой  и написать уравнение этой касательной

1) ;  2)  ,; 3), .

3.Найти угол между кривой  и прямой

Вычислить интеграл