Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Исследование функций и построение графиков

Цель занятия: Научиться исследовать функции с помощью производной.

Вопросы

Возрастание и убывание функции.

Экстремумы функции. Условия экстремума функции.

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Построение графиков функций.

Решение типовых задач

Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение.

Область определения функции: .

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Точки пересечения с осями координат. Пусть , тогда  График пересекает ось Ох в точках  и .

Найдем интервалы возрастания и убывания и экстремумы функции.

Найдем * при  и .

Выясним знак  в окрестности критических точек.

При переходе через точку  производная  меняет знак с минуса на плюс, следовательно,  - точка минимума функции.

.

Функция убывает на интервале на  и возрастает на интервале .

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Найдем производную второго порядка ; , .

Исследуем знак  в окрестности точек  и .

 


В интервале  кривая вогнута, в интервале  кривая выпуклая, в интервале  кривая вогнута.

Итак, при переходе через точки  и  вторая производная меняет знак. Следовательно, кривая имеет две точки перегиба:  и . Найдем ординаты точек перегиба ; .

Построим график функции

 


Задания для самостоятельного решения

Найдите производные и дифференциалы указанных функций:

1. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. .

Найдите значение производной функции  в заданной точке :

, .

Найдите производные второго порядка функций:

а) ; б) .

Определите точки экстремума функций:

1) ; 2) .

Исследуйте функцию и постройте ее график

.

Типовой расчёт по теме «Предел и производная»

Задача 1. Вычислить

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 2. Вычислить , используя второй замечательный предел.

1

6

2

0

7

3

0

8

0

4

9

5

0

10

0

Задача 3. Вычислить  с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10


Задача 4. Найти точки разрыва функции .

Определить характер разрывов.

а

b

с

k

а

b

с

k

1

10

1

4

6

6

17

-1

5

8

2

11

1

3

2

7

15

-2

3

3

3

21

-2

5

2

8

9

1

2

5

4

11

1

4

5

9

17

2

3

4

5

19

-1

5

6

10

12

-1

2

8

Задача 5. Найти производную функцию

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 6. Найти производную  функции, заданной параметрически: .

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 7. Найти производную  неявной функции, заданной уравнением

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 8. Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение числа .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Задача 9. Определить, в каких точках заданной линии L касательная к этой линии параллельна прямой , и написать уравнение этой касательной.

Уравнение линии

Уравнение линии

1

3

6

-2

2

2

7

3

-1

8

4

-1

9

5

-1

10

3

Задача 10. Исследовать функцию  и построить график

Вычислить интеграл