Математика решение задач контрольной работы

Исследование функций и построение графиков

Цель занятия: Научиться исследовать функции с помощью производной.

Вопросы

Возрастание и убывание функции.

Экстремумы функции. Условия экстремума функции.

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Построение графиков функций.

Решение типовых задач

Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение.

Область определения функции: .

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Точки пересечения с осями координат. Пусть , тогда  График пересекает ось Ох в точках  и .

Найдем интервалы возрастания и убывания и экстремумы функции.

Найдем * при  и .

Выясним знак  в окрестности критических точек.

При переходе через точку  производная  меняет знак с минуса на плюс, следовательно,  - точка минимума функции.

.

Функция убывает на интервале на  и возрастает на интервале .

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Найдем производную второго порядка ; , .

Исследуем знак  в окрестности точек  и .

 


В интервале  кривая вогнута, в интервале  кривая выпуклая, в интервале  кривая вогнута.

Итак, при переходе через точки  и  вторая производная меняет знак. Следовательно, кривая имеет две точки перегиба:  и . Найдем ординаты точек перегиба ; .

Построим график функции

 


Задания для самостоятельного решения

Найдите производные и дифференциалы указанных функций:

1. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. .

Найдите значение производной функции  в заданной точке :

, .

Найдите производные второго порядка функций:

а) ; б) .

Определите точки экстремума функций:

1) ; 2) .

Исследуйте функцию и постройте ее график

.

Типовой расчёт по теме «Предел и производная»

Задача 1. Вычислить

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 2. Вычислить , используя второй замечательный предел.

1

6

2

0

7

3

0

8

0

4

9

5

0

10

0

Задача 3. Вычислить  с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10


Задача 4. Найти точки разрыва функции .

Определить характер разрывов.

а

b

с

k

а

b

с

k

1

10

1

4

6

6

17

-1

5

8

2

11

1

3

2

7

15

-2

3

3

3

21

-2

5

2

8

9

1

2

5

4

11

1

4

5

9

17

2

3

4

5

19

-1

5

6

10

12

-1

2

8

Задача 5. Найти производную функцию

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 6. Найти производную  функции, заданной параметрически: .

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 7. Найти производную  неявной функции, заданной уравнением

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 8. Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение числа .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Задача 9. Определить, в каких точках заданной линии L касательная к этой линии параллельна прямой , и написать уравнение этой касательной.

Уравнение линии

Уравнение линии

1

3

6

-2

2

2

7

3

-1

8

4

-1

9

5

-1

10

3

Задача 10. Исследовать функцию  и построить график

Вычислить интеграл