Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Интегральное исчисление функции одной переменной

Тема 1. Неопределенный интеграл

Понятие интеграла – одно из важнейших в математическом анализе. Оно возникло и развивалось наряду с понятиями производной и дифференциала и неразрывно с ними связано.

Первообразная и неопределенный интеграл

Будем рассматривать задачу: дана функция , надо найти такую функцию , производная которой равна данной функции , то есть

= (1.1.)

Это значит, что данная функция  есть производная какой-то неизвестной функции и надо найти эту неизвестную функцию, называемую первообразной.

Определение 1. Функция  называется первообразной данной функции  на интервале (a,b) если в любой его точке выполняется равенство

Пример 1.1.

Данная функция

cosx

 

Ее первообразная

sinx

ln x

tg x

arcsinx

arctgx

Если для данной функции существует первообразная, то она не единственная. В самом деле, для данной функции, например  первообразными являются функции  первообразными являются функции = sin x-2, = sin x +3, и т.д., вообще = sin x + С, где С–любое постоянное число.

Теорема. Любые две первообразные  и  данной функции  отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину. По определению первообразной , ,  или , но тогда  или С = 0, что и доказывает теорему.

Определение 2. Если функция  является первообразной для , то выражение +С, где С – постоянная, называется неопределенным интегралом функции  и обозначается символом . Иначе говоря, неопределенный интеграл функции  есть множество ее первообразных.

По определению, =+С (1.2.),

где  - символ интеграла,  - подынтегральная функция,  - подынтегральное выражение. Процесс нахождения неопределенного интеграла данной функции называется интегрированием этой функции.

Множеству первообразных соответствует семейство линий ,

называемых интегральными кривыми. Например, если данная функция есть , то множество ее первообразных или неопределенный интеграл выражается функциями , представляющими собой семейство парабол, получаемых сдвигом вдоль оси Оy параболы у=х2.

Свойства неопределенного интеграла

Производная неопределенного интеграла подынтегральной функции равна самой функции:.

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Неопределенный интеграл от дифференциала функции  равен функции  с точностью до постоянного слагаемого:  Найдем дифференциал от обеих частей равенства  или, по свойству 2,  Равенство *= означает, что свойство 3 справедливо.

Замечание 1. Дифференцирование и интегрирование функций являются взаимно обратными операциями.

Замечание 2. Последовательное применение операций дифференцирования и интегрирования  взаимно уничтожает друг друга.

Если в подынтегральном выражении есть постоянный множитель С, его можно выносить за знак неопределенного интеграла:

Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых

Замечание 3. Неопределенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования. Он зависит только от вида подынтегральной функции.

Таблица основных неопределенных интегралов

Ниже приводятся интегралы, часть которых получается непосредственно из таблицы производных, если прочитать ее справа налево.

1)  8) 

2)  9) 

3)  10) 

4)  11) 

5)  12) 

6)  13) 

7)  14) 

Существуют и так называемые «неберущиеся» интегралы, не имеющие первообразной, выраженной через элементарные функции, например,  , (k<1)и другие. В практике они встречаются часто, поэтому их интегрируют приближенно.

Вычислить интеграл