Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Основные методы интегрирования

Процесс интегрирования состоит в умении провести интеграл от данной функции к одному или нескольким табличным интегралам с использованием математических преобразований и свойств неопределенного интеграла.

Непосредственное интегрирование

Метод заключается в применении различных преобразований подынтегральной функции с целью приведения ее к табличным интегралам. Здесь нет специальной теории. Необходимо знать свойства неопределенных интегралов, элементарные преобразования алгебраических или тригонометрических функций и табличные интегралы. Навыки интегрирования, называемые техникой интегрирования, напрямую зависят от количества выполняемых уравнений. Поэтому перейдем к практике интегрирования.

Пример 1.2. Найти неопределенные интегралы:

1)  2) 3)  

4)

5)

6)

7)

8)

Метод замены переменной (подстановка)

Метод базируется на применении формулы, связанной со сложной функцией

(1.3)

где  дифференцируемая функция и . Чтобы установить справедливость формулы, достаточно показать, что дифференциалы ее левой и правой частей по  совпадают. Воспользуемся свойством 2 неопределенного интеграла. Дифференциал левой части  Дифференциал правой части   Они одинаковы. Тем самым справедливость формулы доказана.

При практическом интегрировании в некоторых случаях удобнее вводить новую переменную при помощи замен, а в некоторых при помощи . Эти замены переменной будем называть подстановками.

Существует много различных подстановок, выбор которых зависит от вида подынтегральной функции или проведенных практикой и обоснованных приемов. Таковы, например, универсальная тригонометрическая подстановка, три подстановки Эйлера, подстановка Чебышева и другие.

Пример 1.3. Найти  Введем подстановку и найдем дифференциалы ее левой и правой частей . Тогда данный интеграл примет вид .

Пример 1.4. Найти . Введем подстановку чтобы избавиться от знака корня. Тогда  Интеграл примет вид

где , что следует из подстановки.

С помощью метода замены переменной можно получить новые важные формулы интегрирования. Покажем, что если F(x) есть первообразная функции f(x), то замена аргумента x на линейный двучлен ax+b приводит к интегралу  (1.4)

Действительно, подстановка ax+b=dt или dx= дает интеграл

Если в формуле (1.4) b=0, то  

Пример 1.5. 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Запишем правило: Если подынтегральная функция есть дробь, числитель которой равен дифференциалу знаменателя, то интеграл такой дроби равен натуральному логарифму знаменателя.

Найти  Пусть

Пример 1.6. 1) ;

2) ;

3)  здесь

4)  здесь

5).

- подстановка (замена переменной интегрирования)

- здесь мы продифференцировали первое равенство

 

 

Проверка: - подынтегральная функция.

6)  ; ,

Проверка:  - подынтегральная функция.

7) .

.

8)

Вычислить интеграл