Математика решение задач контрольной работы

Основные методы интегрирования

Процесс интегрирования состоит в умении провести интеграл от данной функции к одному или нескольким табличным интегралам с использованием математических преобразований и свойств неопределенного интеграла.

Непосредственное интегрирование

Метод заключается в применении различных преобразований подынтегральной функции с целью приведения ее к табличным интегралам. Здесь нет специальной теории. Необходимо знать свойства неопределенных интегралов, элементарные преобразования алгебраических или тригонометрических функций и табличные интегралы. Навыки интегрирования, называемые техникой интегрирования, напрямую зависят от количества выполняемых уравнений. Поэтому перейдем к практике интегрирования.

Пример 1.2. Найти неопределенные интегралы:

1)  2) 3)  

4)

5)

6)

7)

8)

Метод замены переменной (подстановка)

Метод базируется на применении формулы, связанной со сложной функцией

(1.3)

где  дифференцируемая функция и . Чтобы установить справедливость формулы, достаточно показать, что дифференциалы ее левой и правой частей по  совпадают. Воспользуемся свойством 2 неопределенного интеграла. Дифференциал левой части  Дифференциал правой части   Они одинаковы. Тем самым справедливость формулы доказана.

При практическом интегрировании в некоторых случаях удобнее вводить новую переменную при помощи замен, а в некоторых при помощи . Эти замены переменной будем называть подстановками.

Существует много различных подстановок, выбор которых зависит от вида подынтегральной функции или проведенных практикой и обоснованных приемов. Таковы, например, универсальная тригонометрическая подстановка, три подстановки Эйлера, подстановка Чебышева и другие.

Пример 1.3. Найти  Введем подстановку и найдем дифференциалы ее левой и правой частей . Тогда данный интеграл примет вид .

Пример 1.4. Найти . Введем подстановку чтобы избавиться от знака корня. Тогда  Интеграл примет вид

где , что следует из подстановки.

С помощью метода замены переменной можно получить новые важные формулы интегрирования. Покажем, что если F(x) есть первообразная функции f(x), то замена аргумента x на линейный двучлен ax+b приводит к интегралу  (1.4)

Действительно, подстановка ax+b=dt или dx= дает интеграл

Если в формуле (1.4) b=0, то  

Пример 1.5. 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Запишем правило: Если подынтегральная функция есть дробь, числитель которой равен дифференциалу знаменателя, то интеграл такой дроби равен натуральному логарифму знаменателя.

Найти  Пусть

Пример 1.6. 1) ;

2) ;

3)  здесь

4)  здесь

5).

- подстановка (замена переменной интегрирования)

- здесь мы продифференцировали первое равенство

 

 

Проверка: - подынтегральная функция.

6)  ; ,

Проверка:  - подынтегральная функция.

7) .

.

8)

Вычислить интеграл