Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Метод интегрирования по частям

Если  - две дифференцируемые функции, то дифференциал их произведения  Интегрируя это равенство почленно, получим

 или , тогда  (1.5.)

Формула (1.5) называется формулой интегрирования по частям.

Идея применения формулы (1.5.) заключается в следующем. Подынтегральная выражение всегда можно представить как произведение некоторой функции  и на дифференциал другой функции . В левой части формулы записан именно такой интеграл. Обратите внимание на интеграл, стоящий в правой части формулы. Его подынтегральное выражение представляет собой произведение функции  на дифференциал  функции . То есть функции ,  поменялись ролями, в результате чего интеграл, стоящий справа может оказаться более простым и даже табличным. Иначе говоря, формула позволяет интегрирование данной функции заменить интегрированием другой функции. Техника интегрирования сводится к тому, что за  берется такая часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за  такая часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется. При интегрировании  получается , то есть бесконечное множество первообразных. Для применения формулы интегрирования по частям (1.5.) можно взять любую из первообразных, в частности ту, для которой С=0.

Это упрощает решение. Поэтому при нахождении функции  произвольную постоянную С вводить не следует.

Чтобы предупредить неудачные действия при интегрировании по частям, рекомендуем:

в интегралах вида,  

где  - многочлен, , принимать а  равным остальной части подынтегрального выражения, включая .

в интегралах вида  за  принимают логарифм или аркфункцию, а ;

в интегралах  за  можно принять либо , либо  или . Остальная часть подынтегрального выражения принимается за .

В некоторых случаях интегрирование по частям приходится применять повторно, последовательно упрощая интеграл.

Пример 1.7.

1)

2)

3)  

1-е интегрирование по 2-е интегрирование по 

частям частям

=

4) .

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Для этого полагаем . Согласно формуле интегрирования по частям , получим:

Иногда приходится применять различные методы интегрирования – сначала метод замены переменной, затем интегрирование по частям.

Пример 1.8. Найти

 Подстановка: По частям:

  

=

Из сказанного и рассмотренных примеров видно, что общие методы интегрирование требуют нешаблонного подхода, необходимы определенные навыки и сообразительность для приведения данных интегралов к табличным.

Для некоторых видов интегралов имеются типовые приемы преобразований, приводящих эти интегралы к табличным.

Пример 1.9.

Произведение функций будем интегрировать методом «по частям»: , где  нужно выбрать самому, а  найти по его дифференциалу   (интегрированием). Этот прием ведет к цели, если  находится легче, чем , или если один из этих интегралов выражается через другой.

=.

Методом по частям берутся так же интегралы от , , ln x,

По выбранной функции  находим (это всегда выполнимо); а по  ищем , поэтому за  следует выбрать так, чтобы интеграл был табличным или легко сводился к нему.

Задания для самостоятельного решения

Применяя формулу интегрирование по частям, найти интегралы:

1) 2)   3)

4) ; 5)   6)  

7) ; 8) .

Вычислить интеграл