Математика решение задач контрольной работы

Метод интегрирования по частям

Если  - две дифференцируемые функции, то дифференциал их произведения  Интегрируя это равенство почленно, получим

 или , тогда  (1.5.)

Формула (1.5) называется формулой интегрирования по частям.

Идея применения формулы (1.5.) заключается в следующем. Подынтегральная выражение всегда можно представить как произведение некоторой функции  и на дифференциал другой функции . В левой части формулы записан именно такой интеграл. Обратите внимание на интеграл, стоящий в правой части формулы. Его подынтегральное выражение представляет собой произведение функции  на дифференциал  функции . То есть функции ,  поменялись ролями, в результате чего интеграл, стоящий справа может оказаться более простым и даже табличным. Иначе говоря, формула позволяет интегрирование данной функции заменить интегрированием другой функции. Техника интегрирования сводится к тому, что за  берется такая часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за  такая часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется. При интегрировании  получается , то есть бесконечное множество первообразных. Для применения формулы интегрирования по частям (1.5.) можно взять любую из первообразных, в частности ту, для которой С=0.

Это упрощает решение. Поэтому при нахождении функции  произвольную постоянную С вводить не следует.

Чтобы предупредить неудачные действия при интегрировании по частям, рекомендуем:

в интегралах вида,  

где  - многочлен, , принимать а  равным остальной части подынтегрального выражения, включая .

в интегралах вида  за  принимают логарифм или аркфункцию, а ;

в интегралах  за  можно принять либо , либо  или . Остальная часть подынтегрального выражения принимается за .

В некоторых случаях интегрирование по частям приходится применять повторно, последовательно упрощая интеграл.

Пример 1.7.

1)

2)

3)  

1-е интегрирование по 2-е интегрирование по 

частям частям

=

4) .

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Для этого полагаем . Согласно формуле интегрирования по частям , получим:

Иногда приходится применять различные методы интегрирования – сначала метод замены переменной, затем интегрирование по частям.

Пример 1.8. Найти

 Подстановка: По частям:

  

=

Из сказанного и рассмотренных примеров видно, что общие методы интегрирование требуют нешаблонного подхода, необходимы определенные навыки и сообразительность для приведения данных интегралов к табличным.

Для некоторых видов интегралов имеются типовые приемы преобразований, приводящих эти интегралы к табличным.

Пример 1.9.

Произведение функций будем интегрировать методом «по частям»: , где  нужно выбрать самому, а  найти по его дифференциалу   (интегрированием). Этот прием ведет к цели, если  находится легче, чем , или если один из этих интегралов выражается через другой.

=.

Методом по частям берутся так же интегралы от , , ln x,

По выбранной функции  находим (это всегда выполнимо); а по  ищем , поэтому за  следует выбрать так, чтобы интеграл был табличным или легко сводился к нему.

Задания для самостоятельного решения

Применяя формулу интегрирование по частям, найти интегралы:

1) 2)   3)

4) ; 5)   6)  

7) ; 8) .

Вычислить интеграл