Математика решение задач контрольной работы

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где  - многочлен степени ,  - многочлен степени . Рациональные дроби бывают неправильные, если   и правильные, если . Например, дроби  - неправильные дроби, а дроби  

 - правильные.

Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы ее целой части и некоторой правильной дроби. Например, первую из приведенных выше неправильных дробей по правилам деления многочленов можно представить в виде , а третью в виде

Таким образом, если надо проинтегрировать неправильную дробь на целую часть и правильную дробь и после интегрирования целой части как многочлена, что не вызывает затруднений, решение сведется интегрированию правильной дроби. Поэтому дальше ограничимся интегрированием лишь правильных дробей вида , где .

Будем предполагать, что коэффициенты многочленов  и  - действительные числа и что дробь несократимая, то есть не имеет общих корней.

В алгебре доказывается, что многочлен  степени  имеет  корней действительных и комплексных вида , где  - действительные числа,  - мнимая единица и, что его можно разложить на множители , где квадратные трехчлены имеют сопряженные комплексные корни и на действительные множители не раскладываются, а степени  - целые положительные, указывающие кратность действительных и комплексных корней. Среди действительных корней a,b … могут быть и нулевые, среди комплексных – чисто мнимые вида bi.

Для простоты дальнейшего изложения примем вариант, когда знаменатель правильной дроби раскладывается на действительные множители и один квадратный трехчлен 

В алгебре доказывается, что в этом случае рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей вида

 (1.6)

Коэффициенты А1, А2,…В1, В2, … M, N можно определить из следующих соображений. Равенство (7.6) является тождеством, то есть справедливо при всех допустимых значениях букв, входящих в это равенство. Поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях слева и справа. Но два многочлена тождественны, если их коэффициент при одинаковых степенях x равны между собой. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях, получим систему из стольких уравнений, сколько неопределенных коэффициентов. Решая эту систему, а она всегда совместна, найдем коэффициенты А1,… N.

Как видно из тождества (1.6) интегрирование рациональной дроби

сводится к алгебраической сумме интегралов от простейших дробей четырех типов: , , , . Покажем, чему они равны.

=, см. формулу (1.3)

=

, что приводит к табличному интегралу (12). Здесь , поскольку квадратный трехчлен неприводимый и его дискриминант .

Здесь в первом интеграле искусственно создан числитель дроби, равный дифференциалу знаменателя, потому интеграл дроби равен натуральному логарифму знаменателя. Второй интеграл – это интеграл типа 3, рассмотренный только что.

Пример 1.10. Найти .

Решение. Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби

.

Должны быть равны числители

 или

.

Приравнивая коэффициенты этих тождественных многочленов при одинаковых степенях , получим систему трех уравнений с тремя неизвестными.

  

подставим во второе и третье уравнения, получим складываем почленно, найдем   или

Подставляем значения коэффициентов в простейшие дроби и почленно их интегрируем, вынося постоянные множители за знак интеграла,

Пример 1.11. ; разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби

 или


.

Пример , *, (чтобы корни извлеклись); ,

- неправильная алгебраическая дробь.

Выделим целую часть.

,где

4)

 - неправильная дробь. Выделим целую часть.

 

 

 

=

.

Пример 1.12.

Так как дроби равны и знаменатели равны, то числители так же равны при любых x.

.

Дадим x значения:0,-3,1.

Подставим найденные A, B, и C в интеграл:

.

Вычислить интеграл