Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где  - многочлен степени ,  - многочлен степени . Рациональные дроби бывают неправильные, если   и правильные, если . Например, дроби  - неправильные дроби, а дроби  

 - правильные.

Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы ее целой части и некоторой правильной дроби. Например, первую из приведенных выше неправильных дробей по правилам деления многочленов можно представить в виде , а третью в виде

Таким образом, если надо проинтегрировать неправильную дробь на целую часть и правильную дробь и после интегрирования целой части как многочлена, что не вызывает затруднений, решение сведется интегрированию правильной дроби. Поэтому дальше ограничимся интегрированием лишь правильных дробей вида , где .

Будем предполагать, что коэффициенты многочленов  и  - действительные числа и что дробь несократимая, то есть не имеет общих корней.

В алгебре доказывается, что многочлен  степени  имеет  корней действительных и комплексных вида , где  - действительные числа,  - мнимая единица и, что его можно разложить на множители , где квадратные трехчлены имеют сопряженные комплексные корни и на действительные множители не раскладываются, а степени  - целые положительные, указывающие кратность действительных и комплексных корней. Среди действительных корней a,b … могут быть и нулевые, среди комплексных – чисто мнимые вида bi.

Для простоты дальнейшего изложения примем вариант, когда знаменатель правильной дроби раскладывается на действительные множители и один квадратный трехчлен 

В алгебре доказывается, что в этом случае рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей вида

 (1.6)

Коэффициенты А1, А2,…В1, В2, … M, N можно определить из следующих соображений. Равенство (7.6) является тождеством, то есть справедливо при всех допустимых значениях букв, входящих в это равенство. Поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях слева и справа. Но два многочлена тождественны, если их коэффициент при одинаковых степенях x равны между собой. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях, получим систему из стольких уравнений, сколько неопределенных коэффициентов. Решая эту систему, а она всегда совместна, найдем коэффициенты А1,… N.

Как видно из тождества (1.6) интегрирование рациональной дроби

сводится к алгебраической сумме интегралов от простейших дробей четырех типов: , , , . Покажем, чему они равны.

=, см. формулу (1.3)

=

, что приводит к табличному интегралу (12). Здесь , поскольку квадратный трехчлен неприводимый и его дискриминант .

Здесь в первом интеграле искусственно создан числитель дроби, равный дифференциалу знаменателя, потому интеграл дроби равен натуральному логарифму знаменателя. Второй интеграл – это интеграл типа 3, рассмотренный только что.

Пример 1.10. Найти .

Решение. Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби

.

Должны быть равны числители

 или

.

Приравнивая коэффициенты этих тождественных многочленов при одинаковых степенях , получим систему трех уравнений с тремя неизвестными.

  

подставим во второе и третье уравнения, получим складываем почленно, найдем   или

Подставляем значения коэффициентов в простейшие дроби и почленно их интегрируем, вынося постоянные множители за знак интеграла,

Пример 1.11. ; разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби

 или


.

Пример , *, (чтобы корни извлеклись); ,

- неправильная алгебраическая дробь.

Выделим целую часть.

,где

4)

 - неправильная дробь. Выделим целую часть.

 

 

 

=

.

Пример 1.12.

Так как дроби равны и знаменатели равны, то числители так же равны при любых x.

.

Дадим x значения:0,-3,1.

Подставим найденные A, B, и C в интеграл:

.

Вычислить интеграл