Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Определенный интеграл

Определенный интеграл связан с непосредственным приложением интегрального исчисления к решению прикладных задач. Введем понятие определенного интеграла и познакомимся с его свойствами и методами вычисления

2.1. Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть функция   определена на отрезке, . Разобьем этот отрезок на  частичных отрезков точками . В каждом из полученных частичных отрезков  выберем произвольную точку и вычислим значение функции  в точках , то есть . Каждое произведение  есть площадь прямоугольника, имеющая основание  и высоту . Суммируя все , получим интегральную сумму: .

 
Сумма  - называется интегральной суммой для функции  на отрезке .

Предел интегральной суммы

при , который не

зависит ни от способа разбиения

отрезка  на частичные отрезки,

ни от выбора точек в них, называется

определенным интегралом

от функции  на отрезке

и обозначается , где  пределы (границы) интегрирования. Названия остальных элементов обозначения такие же, как в неопределенном интеграле.

Определенный интеграл (2.2) численно равен площади криволинейной трапеции  .

2.2. Свойства определенного интеграла

Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, то есть .

При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный, то есть.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, то есть где

Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

Если отрезок интегрирования  разбит на части, то определенный интеграл по всему отрезку равен сумме определенных интегралов по его частям, например, если a<c<b, то .

Если на отрезке интегрирования , где a< b функция  и обе эти функции непрерывны, то .

Если т – наименьшее, то М- наибольшее значения непрерывной на отрезке  функции, то .

Теорема о среднем. Определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой внутренней точке с этого отрезка, то есть

Отсюда получаем интегральную среднюю как среднее значение функции на отрезке:  (2.3)

Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования. Он зависит от подынтегральной функции и границ интегрирования.

2.3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Для вычисления определенных интегралов применяется простая и удобная формула Ньютона-Лейбница, названная так в честь изобретателей дифференциального и интегрального исчислений И. Ньютона, о котором уже говорилось, и В.Г. Лейбница (1646-1716), немецкого ученого и философа. Формула имеет вид:  (2.4)

Она устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами. Благодаря этой связи, отпала необходимость нахождения всякий раз пределов интегрированных сумм, попытки которых предпринимались не раз со времен Архимеда (3 в. до н. Э.). Формула Ньютона-Лейбница способствовала решительному и быстрому внедрению методов интегрирования в практику. Благодаря этой формуле математика получила общий метод для решения многих частных задач и смогла значительно расширить круг приложений.

Пример 2.1. Вычислить

Пример 2.2. Вычислить

2.4. Замена переменной в определенном интеграле

Пусть дан интеграл , где функция - непрерывна на отрезке . Введем новую переменную  в виде , где . Если при этом выполняются условия:

1)  

2)  и   - непрерывные на отрезке

3)  - определена и непрерывна на отрезке то

 (2.5.)

Справедливость равенства (2.5.) проверяется с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Замечание. При интегрировании методом замены переменной не нужно возвращаться к прежней переменной, так как изменяются пределы интегрирования.

Пример 2.3. Вычислить

Введем замену переменной (подстановку)     

Из основной подстановки найдем новые пределы интегрирования, полагая  в выражении ,

Получим  при ,  при .

Согласно формуле (2.5) запишем:

Пример 2.4. Вычислить

Приведем замену переменной  тогда   найдем новые пределы интегрирования:  при ,  при  из уравнений

Имеем

Пример 2.5.

Решаем методом подстановки: , , при ,, при

Вычислить интеграл