Математика решение задач контрольной работы

Интегрирование по частям

Известно, что дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен . Проинтегрируем обе части этого тождества почленно в  пределах от  до . Получим:

 или   или, окончательно, (2.6.)

Формула (2.6.) и указывает, каким образом вычисляется определенный интеграл при интегрировании по частям.

Пример 2.6. Вычислить .

Пусть     

Запишем интеграл по формуле (2.6)

Пример 2.7. Вычислить .

Примем    . Тогда

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить определенные интегралы:

1.; 2. ;

3. ; 4. ;

5.; 6. .


2.7. Несобственные интегралы

. Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами определяются как интегралы вида:

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует, то интеграл называется расходящимся.

 Если непрерывна для всех значений отрезка , кроме точки с, в которой  имеет разрыв второго рода, то несобственным интегралом второго рода от неограниченной функции называется интеграл вида:

 

Признак сравнения. Если функциии непрерывны на промежутке  и удовлетворяют на этом промежутке условию , то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , и из расходимости интеграла   следует расходимость интеграла .

Пример 2.8. Сходится ли интеграл

Решение. . Интеграл сходится.

Пример 2.9. Исследовать сходимость .

Решение. Сравним подынтегральную функцию с функцией на . Очевидно, что  .

Но интеграл  сходится, так как (см. пример 1) Следовательно, согласно признаку сравнения, сходится и данный ряд.

Пример 2.10. Исследовать сходимость интеграла , где - некоторое число.

Решение. 1) Если, то для любого  

2) Если, то для любого

.

Итак, данный интеграл при  сходится, при  расходится и при  расходится.

Пример 2.11. Сходится ли интеграл

Решение. Представим его как сумму

Интеграл сходится.

Пример 2.12. Сходится ли интеграл

Решение. 

Интеграл сходится.

Пример 2.13. - интеграл расходится.

Пример 2.14. - интеграл также расходится. Здесь функция при  терпит бесконечный разрыв.

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать сходимость интегралов

1) , 2) 3)

4), 5) ,  6) .

Вычислить интеграл