Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Интегрирование по частям

Известно, что дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен . Проинтегрируем обе части этого тождества почленно в  пределах от  до . Получим:

 или   или, окончательно, (2.6.)

Формула (2.6.) и указывает, каким образом вычисляется определенный интеграл при интегрировании по частям.

Пример 2.6. Вычислить .

Пусть     

Запишем интеграл по формуле (2.6)

Пример 2.7. Вычислить .

Примем    . Тогда

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить определенные интегралы:

1.; 2. ;

3. ; 4. ;

5.; 6. .


2.7. Несобственные интегралы

. Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами определяются как интегралы вида:

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует, то интеграл называется расходящимся.

 Если непрерывна для всех значений отрезка , кроме точки с, в которой  имеет разрыв второго рода, то несобственным интегралом второго рода от неограниченной функции называется интеграл вида:

 

Признак сравнения. Если функциии непрерывны на промежутке  и удовлетворяют на этом промежутке условию , то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , и из расходимости интеграла   следует расходимость интеграла .

Пример 2.8. Сходится ли интеграл

Решение. . Интеграл сходится.

Пример 2.9. Исследовать сходимость .

Решение. Сравним подынтегральную функцию с функцией на . Очевидно, что  .

Но интеграл  сходится, так как (см. пример 1) Следовательно, согласно признаку сравнения, сходится и данный ряд.

Пример 2.10. Исследовать сходимость интеграла , где - некоторое число.

Решение. 1) Если, то для любого  

2) Если, то для любого

.

Итак, данный интеграл при  сходится, при  расходится и при  расходится.

Пример 2.11. Сходится ли интеграл

Решение. Представим его как сумму

Интеграл сходится.

Пример 2.12. Сходится ли интеграл

Решение. 

Интеграл сходится.

Пример 2.13. - интеграл расходится.

Пример 2.14. - интеграл также расходится. Здесь функция при  терпит бесконечный разрыв.

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать сходимость интегралов

1) , 2) 3)

4), 5) ,  6) .

Вычислить интеграл