Интегрирование по частям
Известно, что дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен
. Проинтегрируем обе части этого тождества почленно в пределах от
до
. Получим:
или
или, окончательно,
(2.6.)
Формула (2.6.) и указывает, каким образом вычисляется определенный интеграл при интегрировании по частям.
Пример 2.6. Вычислить
.
Пусть
Запишем интеграл по формуле (2.6)
Пример 2.7. Вычислить
.
Примем
. Тогда
Примеры для самостоятельного решения
Вычислить определенные интегралы:
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
.
2.7. Несобственные интегралы
. Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами определяются как интегралы вида:
,
,
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует, то интеграл называется расходящимся.
Если
непрерывна для всех значений отрезка
, кроме точки с, в которой
Признак сравнения. Если функции
непрерывны на промежутке
и удовлетворяют на этом промежутке условию
, то из сходимости интеграла
следует сходимость интеграла
, и из расходимости интеграла
Пример 2.8. Сходится ли интеграл
Решение.
. Интеграл сходится.
Пример 2.9. Исследовать сходимость
.
Решение. Сравним подынтегральную функцию
с функцией
на
. Очевидно, что
.
Но интеграл
сходится, так как
(см. пример 1) Следовательно, согласно признаку сравнения, сходится и данный ряд.
Пример 2.10. Исследовать сходимость интеграла
, где
- некоторое число.
Решение. 1) Если
, то для любого
2) Если
, то для любого
.
Итак, данный интеграл при
сходится, при
расходится и при
расходится.
Пример 2.11. Сходится ли интеграл
Решение. Представим его как сумму
Интеграл сходится.
Пример 2.12. Сходится ли интеграл
Решение.
Интеграл сходится.
Пример 2.13.
- интеграл расходится.
Пример 2.14.
- интеграл также расходится. Здесь функция
при
терпит бесконечный разрыв.
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать сходимость интегралов
1)
, 2)
3)
4)
, 5)
, 6)
.
