Математика решение задач контрольной работы

Вычисление площадей

Если функция  на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью   и прямыми  равна  (2.7)

Если функция  на , то площадь вычисляется по формуле (2.7) от абсолютной величины подынтегральной функции.

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми   и , при условии, что , то искомую площадь найдем как разность площадей двух криволинейных трапеций. Получим

Для нахождения пределов интегрирования надо найти абсциссы точек А и В пересечения кривых, решив уравнение .

Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями , вычисляется по формуле: .

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением  и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы  и  , вычисляется по формуле: .

Пример 2.15. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой  и осью .

Решение. Так как функция  четная, то кривая (парабола) симметрична относительно оси  и ветви ее направлены вниз.

Парабола и ось , уравнение которой , пересекается и тогда , откуда .

Площадь всей фигуры, ввиду ее симметрии относительно оси ,

 (кв. ед).

Пример 2.16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,

Решение. Для определения пределов интегрирования сделаем рисунок, из которого видно, что площадь проще вычислить по переменной , так как вдоль оси  площади искомой фигуры образуют разности площадей криволинейных трапеций. Для определения ординат точек пересечения решим два уравнения:

Из  следует   или , его корни

Из  и   или  его корни

Примеры 2.17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , ,  

 

Пример 2.18. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями

.

Решение. Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле: .

б) Вычислить площадь, ограниченную линиями  и .

Решение. Решая систему уравнений  и , найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: .

Искомая площадь равна разности площадей

двух криволинейных трапеций:

Пример 2.19. Вычислить площадь, ограниченную линиями  и .

Решение. Решая систему уравнений  и , найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: .

Искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций:

Задания для самостоятельного решения

Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

Вычислить интеграл