Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Вычисление площадей

Если функция  на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью   и прямыми  равна  (2.7)

Если функция  на , то площадь вычисляется по формуле (2.7) от абсолютной величины подынтегральной функции.

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми   и , при условии, что , то искомую площадь найдем как разность площадей двух криволинейных трапеций. Получим

Для нахождения пределов интегрирования надо найти абсциссы точек А и В пересечения кривых, решив уравнение .

Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями , вычисляется по формуле: .

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением  и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы  и  , вычисляется по формуле: .

Пример 2.15. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой  и осью .

Решение. Так как функция  четная, то кривая (парабола) симметрична относительно оси  и ветви ее направлены вниз.

Парабола и ось , уравнение которой , пересекается и тогда , откуда .

Площадь всей фигуры, ввиду ее симметрии относительно оси ,

 (кв. ед).

Пример 2.16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,

Решение. Для определения пределов интегрирования сделаем рисунок, из которого видно, что площадь проще вычислить по переменной , так как вдоль оси  площади искомой фигуры образуют разности площадей криволинейных трапеций. Для определения ординат точек пересечения решим два уравнения:

Из  следует   или , его корни

Из  и   или  его корни

Примеры 2.17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , ,  

 

Пример 2.18. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями

.

Решение. Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле: .

б) Вычислить площадь, ограниченную линиями  и .

Решение. Решая систему уравнений  и , найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: .

Искомая площадь равна разности площадей

двух криволинейных трапеций:

Пример 2.19. Вычислить площадь, ограниченную линиями  и .

Решение. Решая систему уравнений  и , найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: .

Искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций:

Задания для самостоятельного решения

Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

Вычислить интеграл