Математика решение задач контрольной работы

Вычисление объемов тел вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси  криволинейной трапеции , ограниченной кривой , осью  и прямыми  В этом случае любое сечение полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси , есть круг радиуса , площадь которого равна .

Составим интегральную сумму. Разобьем отрезок  произвольно на  частей. Возьмем частичный отрезок , выберем на нем произвольную точку . В точках  и  восстановим перпендикуляры и построим элементарный прямоугольник высотою  с основанием . В результате вращения этого прямоугольника вокруг оси  получится элементарное цилиндрическое тело, радиус которого , а высота . Объем такого цилиндрического тела равен , а сумма всех элементарных цилиндрических тел дает интегральную сумму

Последовательность интегральных сумм  для непрерывной на отрезке  функции при  и  имеет предел. Его и называют объемом тела вращения вокруг координатной оси , то есть

, короче   (2.8.)

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси  следует вычислить по формуле  или (2.9.)

Замечание. Если вокруг оси  вращается фигура, ограниченная двумя кривыми  и , причем < на отрезке , то

 (2.10.)

Аналогично для фигуры, вращающейся вокруг оси

 (2.11.)

Пример 2.20. Найти объем тора, образованного вращением круга   вокруг оси . Предполагается, что .

Решение. Круг  радиуса  с центром в точке с координатами  будем рассматривать как фигуру, ограниченную дугами двух полуокружностей: верхней (дуга ADB) и нижней (дуга AFB).

По формуле (2.11) получим

Употреблена подстановка  Новые пределы интегрирования  такие:  при  при  .

Пример 2.21. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной.

, ,.

2.10. Формулы длин дуг плоских кривых

Длина   кривой, заданной уравнением ,  вычисляется по формуле:

Длина   кривой заданной параметрическими уравнениями 

, вычисляется по формуле:

Длина   кривой заданной в полярных координатах уравнением

вычисляется по формуле: .

Пример 2.22. Найти длину дуги кривой  от  до .

Решение. Кривая симметрична относительно оси Ox. Найдем длину верхней ветви кривой. Из уравнения  находим . По формуле вычисления длины дуги получим

2.11. Приближенное вычисление определенных интегралов

Мы уже знаем, что первообразные некоторых функций не могут быть выражены в конечном виде через элементарные функции. Вычисление определенных интегралов от таких функций становится возможным только с помощью приближенных методов. Приближенные методы целесообразно применять и в случаях интегрируемости функции в конечном виде, когда отыскание первообразной требует сложных выкладок.

Формулы приближенного вычисления определенного интеграла связаны с геометрическим решением задачи о нахождении площади криволинейной трапеции.

Пусть требуется найти приближенное значение определенного интеграла . Рассмотрим площадь криволинейной трапеции  как геометрическое выражение заданного интеграла, будем искать способы приближенного вычисления этой площади.

Разделим отрезок  и на  равных частей точками . Расстояние между каждой парой соседних точек 

Из точек деления отрезка  восстановим перпендикуляры к оси  до пересечения с графиком функции . Это будут ординаты соответствующих точек деления:

Площадь криволинейной трапеции  можно рассматривать как сумму площадей  частичных криволинейных трапеций, на которые разделена фигура: .

Пример 2.23. Вычислить приближенное значение интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все вычисления производим с округленным до третьего десятичного знака числами.

, где ,,

 формула Симпсона для

, где ;

 

.

Вычислить интеграл