Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Вычисление объемов тел вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси  криволинейной трапеции , ограниченной кривой , осью  и прямыми  В этом случае любое сечение полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси , есть круг радиуса , площадь которого равна .

Составим интегральную сумму. Разобьем отрезок  произвольно на  частей. Возьмем частичный отрезок , выберем на нем произвольную точку . В точках  и  восстановим перпендикуляры и построим элементарный прямоугольник высотою  с основанием . В результате вращения этого прямоугольника вокруг оси  получится элементарное цилиндрическое тело, радиус которого , а высота . Объем такого цилиндрического тела равен , а сумма всех элементарных цилиндрических тел дает интегральную сумму

Последовательность интегральных сумм  для непрерывной на отрезке  функции при  и  имеет предел. Его и называют объемом тела вращения вокруг координатной оси , то есть

, короче   (2.8.)

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси  следует вычислить по формуле  или (2.9.)

Замечание. Если вокруг оси  вращается фигура, ограниченная двумя кривыми  и , причем < на отрезке , то

 (2.10.)

Аналогично для фигуры, вращающейся вокруг оси

 (2.11.)

Пример 2.20. Найти объем тора, образованного вращением круга   вокруг оси . Предполагается, что .

Решение. Круг  радиуса  с центром в точке с координатами  будем рассматривать как фигуру, ограниченную дугами двух полуокружностей: верхней (дуга ADB) и нижней (дуга AFB).

По формуле (2.11) получим

Употреблена подстановка  Новые пределы интегрирования  такие:  при  при  .

Пример 2.21. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной.

, ,.

2.10. Формулы длин дуг плоских кривых

Длина   кривой, заданной уравнением ,  вычисляется по формуле:

Длина   кривой заданной параметрическими уравнениями 

, вычисляется по формуле:

Длина   кривой заданной в полярных координатах уравнением

вычисляется по формуле: .

Пример 2.22. Найти длину дуги кривой  от  до .

Решение. Кривая симметрична относительно оси Ox. Найдем длину верхней ветви кривой. Из уравнения  находим . По формуле вычисления длины дуги получим

2.11. Приближенное вычисление определенных интегралов

Мы уже знаем, что первообразные некоторых функций не могут быть выражены в конечном виде через элементарные функции. Вычисление определенных интегралов от таких функций становится возможным только с помощью приближенных методов. Приближенные методы целесообразно применять и в случаях интегрируемости функции в конечном виде, когда отыскание первообразной требует сложных выкладок.

Формулы приближенного вычисления определенного интеграла связаны с геометрическим решением задачи о нахождении площади криволинейной трапеции.

Пусть требуется найти приближенное значение определенного интеграла . Рассмотрим площадь криволинейной трапеции  как геометрическое выражение заданного интеграла, будем искать способы приближенного вычисления этой площади.

Разделим отрезок  и на  равных частей точками . Расстояние между каждой парой соседних точек 

Из точек деления отрезка  восстановим перпендикуляры к оси  до пересечения с графиком функции . Это будут ординаты соответствующих точек деления:

Площадь криволинейной трапеции  можно рассматривать как сумму площадей  частичных криволинейных трапеций, на которые разделена фигура: .

Пример 2.23. Вычислить приближенное значение интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все вычисления производим с округленным до третьего десятичного знака числами.

, где ,,

 формула Симпсона для

, где ;

 

.

Вычислить интеграл