Математика решение задач контрольной работы

Определители

1. Определителем 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле , где аij называется элементом определителя; первый индекс i указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца.

2. Определителем 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле (правило треугольников)

  а11 а12 а13

 а21 а22 а23  = а11 а22 а33 + а21 а32 а13 + а12 а23 а31 – а31 а22 а13 – а21 а12 а33 – 

  а31 а32 а33 

 -а32 а23 а11 .

 3. Минором Мij элемента аij определителя  называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания элементов i-ой строки и j-го столбца (на пересечении которых находится элемент аij).

4. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij данного определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком (–1) i+j, т.е. Аij = (–1) i+j· Мij.

ê= аi1 Аi1+ аi2 Аi2 + …+ аin Аin =  (разложение по элементам i-й строки, i = 1, 2,…, n);

ê= а1j А1 j + а2 j А2 j + …+ аnj Аnj = (разложение по элементам j-го столбца, j= 1,2,..,n).

Свойства определителей

Замена всех строк соответствующими столбцами (транспонирование) не меняет значение определителя.

 В дальнейшем строку или столбец будем называть рядом определителя.

Перестановка двух параллельных рядов меняет знак определителя.

Общий множитель всех элементов какого-нибудь ряда можно выносить за знак определителя.

Если все элементы какого-нибудь ряда равны нулю, то определитель равен нулю.

Определитель с двумя пропорциональными (равными) параллельными рядами равен нулю.

Сумма произведений элементов какого-нибудь ряда на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.

Определитель не изменится, если к элементам какого-нибудь ряда прибавить элементы параллельного ряда, предварительно умноженные на одно и то же число.

Матрицы, операции над ними

1. Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, будем называть элементами матрицы аij, где i – номер строки, j – номер столбца или, в сокращенной записи, А=(аij); i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n. 

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой (вектором-строкой), а из одного столбца – матрицей-столбцом (вектором-столбцом):

 А = (а11; а12, …, а1n) – матрица-строка;

 1´ n

 b11

 В = b21 – матрица-столбец

  mx1 …

 bm1

Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если 0.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица называется единичной, если все диагональные элементы равны единице, и обозначается Е.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю, и обозначается (0).

Матрица А называется треугольной (ступенчатой, если mn), если ниже ее главной диагонали все элементы равны нулю.

Операции над матрицами

1. Произведением матрицы А на число l называется матрица В, все элементы которой умножаются на l, т.е.

 

где i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n.

2. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mxn называется матрица С, элементы которой cij = аij+ bij, т.е.

где i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n;

причем А+В = В+А; (А+В)+С = А+(В+С); l(А+В) = lА+lВ.

3.Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + (–1)·В

4.Произведением матрицы А размера (mxk) на матрицу В размера (kxn) называется матрица С размера (mxn), элемент которой

 сij = аisbsj , для i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n; т.е.


 Свойства умножения матриц

А·ВВ·А – (в общем случае)

(А·В)·С = А·(В·С) – сочетательный закон.

l(А·В) = (lА) В = А·(lВ)

А·(В+С) = А·В + А·С

где Е – единичная матрица того же размера, что и матрица А.

6) Если С = А·В, то С = А· В , где А и В квадратные матрицы.

 5. Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е. Аm = А·А·…·А

 

 m раз

 6. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице АТ, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица АТ называется транспонированной относительно матрицы А.

 Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е.


Векторы на плоскости и в пространстве.

  Линейные операции над векторами

 1. Вектором называется направленный отрезок прямой и обозначается  или , где А – начальная, а В – конечная точки.

 2. Длиной (или модулем)  (или ) вектора  называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Виды векторов

Определение

Обозначение

Нулевой

, если А = В

Коллинеарные

Векторы, параллельные одной прямой

||

Одинаково направленные

 и  коллинеарные и имеют одно и то же направление

Противоположно направленные

и  коллинеарны и направлены в противоположные стороны

Компланарные

Векторы , , , параллельные одной плоскости (или лежащие в одной плоскости)

||П (П)

||П (П)

||П (П)

Единичный вектор-орт

Вектор длины, равной 1

,

  = 1, = 1

Равные

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллель-ным переносом

Свободный

Вектор, заданный в пространстве  с точностью до параллельного переноса

 

Линейные операции над векторами

 1. Произведением вектора   на число l называется вектор  = l·, имеющий длину  l · , сонаправленный с , если l > 0, и противоположно направленный век-тору , если l < 0.

 Противоположный вектор –  = (–1)·.

 2. Суммой двух векторов  и  называется вектор, идущий из начала вектора  в конец вектора , при условии, что начало  совмещено с концом  (правило треугольника).

Построив на векторах и , выходящих из одной точки, параллелограмм, видим, что вектор  =  +  совпадает с диагональю параллелограмма (правило параллелограмма).

  Суммой n векторов  называется вектор , идущий из начала  в конец при условии, что начало последующего вектора совпадает с концом предыдущего (правило многоугольника).

    =

  

 

 

   

 Если три вектора  не лежат в одной плоскости, то  =  представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах .

Разностью двух векторов  и  называется сумма векторов  и (–), противоположного вектору , т.е. = + (–).

 Легко убедиться в том, что в параллелограмме, построенном на векторах = и

=, одна диагональ – вектор ==+, а другая диагональ – вектор ==. D С

    

 А В

 

+ = (а1 + b1; а2 + b2);

= (а1 – b1; а2 – b2);

l ×  = (lа1, lа2).

Скалярное произведение векторов

 
1. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними.

  Свойства:

 (переместительный закон)

 распределительный

 

 
 закон

  4) 

 

Выражение скалярного произведения через координаты

перемножаемых векторов

 
 Пусть даны векторы

 

Вопросы и задачи для зачета

По контрольной работе №1

Вопросы.

Как выглядит 1) общее уравнение прямой; 2) уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через данную точку; 4) уравнение прямой, проходящей через две точки?

Как находится угол между прямыми, как записываются условия параллельности и перпендикулярности прямых?

Как записываются канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы; каков смысл параметров  и  как изменяется эксцентриситет  для каждого вида кривой второго порядка?

Что такое вектор, как находятся его координаты и длина, если даны координаты начала и конца?

Как определяется скалярное произведение векторов и как оно записывается через координаты перемножаемых векторов; как записывается условие параллельности и перпендикулярности векторов?

Что называется матрицей; какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице; что называется рангом матрицы?

Как формулируется теорема Кронекера-Капелли; как записываются формулы Крамера решения невырожденной системы линейных уравнений?

Что называется пределом числовой последовательности; пределом функции? Какая функция называется непрерывной в точке, на интервале?

Для сдачи зачета надо уметь решать следующие задачи:

Для прямой  найти угловой коэффициент и построить ее график.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку  а) перпендикулярно, б) параллельно прямой .

Найти уравнение прямой, проходящей через две точки  и .

Построить эллипс  и найти координаты фокусов.

Для гиперболы  найти эксцентриситет .

Построить параболу  и найти координаты ее фокуса.

Построить параболу  и найти координаты ее фокуса.

Найти длину вектора , если  и .

Найти угол между векторами  и .

При каком значении т векторы  и  перпендикулярны?

Вычислить определитель .

Найти   для элемента  матрицы .

Решить систему уравнений методом Гаусса

14.Найти: а) ,

б) ,

 в) .

Вычислить интеграл