Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Контрольная работа №2

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Найдите производные функций:

а) ; б) ;  в) .

Решение. а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

б)

 

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной  нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно :

Из последнего уравнения находим :

Задача 2. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:

Найдем область определения функции.

Исследуем функцию на непрерывность.

Установим, является ли функция четной, нечетной.

Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме .

Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах  и . В точке  функция терпит разрыв второго рода.

Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств  (тогда   – четная функция) или  (для нечетной функции) для любых х и –х из области определения функции:

.

Следовательно,  и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

.

 при   и  – не существует при . Тем самым имеем две критические точки: . Но точка  не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5): , .

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку  первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит, – точка минимума.

На рис. 5 знаками +, – указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелками – возрастание и убыва­ние исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика функции и ин­тервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

.

 при   и  – не существует при . Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6): , . На первом интервале вторая производная  отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах , тем самым график является вогнутым. При переходе через точку   меняет свой знак, поэтому  – абсцисса точки перегиба.

Следовательно,  – точка перегиба графика функции.

6.  – точка разрыва функции, причем . Поэтому прямая  является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты  воспользуемся формулами:

.

Тогда

При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя. Значит прямая  есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.

Вычислить интеграл