Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Задача 3. 1) Исследовать на экстремум функцию

 .

Решение. Находим стационарные точки.

Решение последней системы дает 4 стационарные точки:

.

Находим частные производные второго порядка:

Исследуем каждую стационарную точку.

1) В точке Так как  и , то в этой точке функция имеет минимум.

2) В точке Так как  и , то в этой точке функция имеет максимум.

3) В точке Так как , то в этой точке нет экстремума.

4) В точке Так как , то в этой точке нет экстремума.

2) Найти наибольшее и наименьшее значение функции   в замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой  (рис. 8).

Решение. Найдем стационарные точки.

Решая систему

находим стационарную точку . Эта точка лежит внутри области. Вычислим значение функции в этой точке.

Граница заданной области состоит из отрезка ОА оси Ох, отрезка ОВ оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значение функции  на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА  а . При  функция  есть функция одной независимой переменной х. Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке .

;  – стационарная точка. .

Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, то есть в точках О и А. .

На отрезке ОВ  и . При  имеем . Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции  от переменной у на отрезке . ; – стационарная точка. .

Вычислим значения функции  на концах отрезка ОВ, то есть в точках О и В. . Исследуем теперь отрезок АВ. Уравнение прямой АВ: . Подставив это выражение для у в заданную функцию , получим  или . Определим наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке . ;  – стационарная точка. .

Значения функции в точках А и В найдены ранее. Сравнивая полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение заданная функция   в заданной замкнутой области достигает в точке , а наименьшее значение – в стационарной точке . Таким образом,

  и .

Вычислить интеграл