Математика решение задач контрольной работы

Задача 3. 1) Исследовать на экстремум функцию

 .

Решение. Находим стационарные точки.

Решение последней системы дает 4 стационарные точки:

.

Находим частные производные второго порядка:

Исследуем каждую стационарную точку.

1) В точке Так как  и , то в этой точке функция имеет минимум.

2) В точке Так как  и , то в этой точке функция имеет максимум.

3) В точке Так как , то в этой точке нет экстремума.

4) В точке Так как , то в этой точке нет экстремума.

2) Найти наибольшее и наименьшее значение функции   в замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой  (рис. 8).

Решение. Найдем стационарные точки.

Решая систему

находим стационарную точку . Эта точка лежит внутри области. Вычислим значение функции в этой точке.

Граница заданной области состоит из отрезка ОА оси Ох, отрезка ОВ оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значение функции  на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА  а . При  функция  есть функция одной независимой переменной х. Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке .

;  – стационарная точка. .

Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, то есть в точках О и А. .

На отрезке ОВ  и . При  имеем . Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции  от переменной у на отрезке . ; – стационарная точка. .

Вычислим значения функции  на концах отрезка ОВ, то есть в точках О и В. . Исследуем теперь отрезок АВ. Уравнение прямой АВ: . Подставив это выражение для у в заданную функцию , получим  или . Определим наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке . ;  – стационарная точка. .

Значения функции в точках А и В найдены ранее. Сравнивая полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение заданная функция   в заданной замкнутой области достигает в точке , а наименьшее значение – в стационарной точке . Таким образом,

  и .

Вычислить интеграл