Математика решение задач контрольной работы

Задача 5. 3) Найти объем тела, образованного вращением фигуры ,  вокруг оси Ох.

Решение. По формуле (1), учитывая, что   получим

 (куб. ед.).

 Рис. 9

Задача 5. 4) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой  и прямыми  (рис.10).

Решение. По формуле (2), учитывая, что , , получим

 (куб. ед.).

Задача 5. 5) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, заключенной между линиями ,  (рис.11).

Решение. Искомый объем определяется разностью , где  есть объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу треугольника АОВ, а  – объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции ОтАВ. Чтобы найти пределы интегрирования, найдем ординаты точек пересечения данных линий.

 (куб. ед.).

Задача 6. Решить уравнения:

а) , б) .

Решение. а) Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем , тогда  и данное уравнение преобразуется к виду:

или

.

Так как искомая функция у представлена в виде произведения двух вспомогательных функций и и , то одну из них можно выбрать произвольно. выберем в качестве  какой-либо частный интеграл уравнения . Тогда для отыскания функции и получим уравнение .

Решая первое из этих уравнений, найдем ; разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший интеграл:

 (положим ).

Потенцируя, находим .

Подставляя  во второе уравнение, получим

.

Находим общее решение этого уравнения: . Зная и и , находим искомую функцию у:

.

б) Разделив обе части уравнения на :

,

убеждаемся, что оно линейное. Заменяя функцию у по формуле , имеем ,

или

.

Отсюда, как и в предыдущей задаче, получаем два уравнения с разделяющимися переменными:

1)  и 2) .

Решая первое уравнение, находим  как простейший частный интеграл этого уравнения:

.

Отсюда, потенцируя, находим

.

Подставляя  во второе уравнение и решая его, находим функцию и как общий интеграл этого уравнения:

Следовательно, искомое общее решение данного уравнения

 .

Вычислить интеграл