Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Задача 5. 3) Найти объем тела, образованного вращением фигуры ,  вокруг оси Ох.

Решение. По формуле (1), учитывая, что   получим

 (куб. ед.).

 Рис. 9

Задача 5. 4) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой  и прямыми  (рис.10).

Решение. По формуле (2), учитывая, что , , получим

 (куб. ед.).

Задача 5. 5) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, заключенной между линиями ,  (рис.11).

Решение. Искомый объем определяется разностью , где  есть объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу треугольника АОВ, а  – объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции ОтАВ. Чтобы найти пределы интегрирования, найдем ординаты точек пересечения данных линий.

 (куб. ед.).

Задача 6. Решить уравнения:

а) , б) .

Решение. а) Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем , тогда  и данное уравнение преобразуется к виду:

или

.

Так как искомая функция у представлена в виде произведения двух вспомогательных функций и и , то одну из них можно выбрать произвольно. выберем в качестве  какой-либо частный интеграл уравнения . Тогда для отыскания функции и получим уравнение .

Решая первое из этих уравнений, найдем ; разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший интеграл:

 (положим ).

Потенцируя, находим .

Подставляя  во второе уравнение, получим

.

Находим общее решение этого уравнения: . Зная и и , находим искомую функцию у:

.

б) Разделив обе части уравнения на :

,

убеждаемся, что оно линейное. Заменяя функцию у по формуле , имеем ,

или

.

Отсюда, как и в предыдущей задаче, получаем два уравнения с разделяющимися переменными:

1)  и 2) .

Решая первое уравнение, находим  как простейший частный интеграл этого уравнения:

.

Отсюда, потенцируя, находим

.

Подставляя  во второе уравнение и решая его, находим функцию и как общий интеграл этого уравнения:

Следовательно, искомое общее решение данного уравнения

 .

Вычислить интеграл