Математика решение задач контрольной работы

Задача 7. а) Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения  однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть

.

Для нахождения  составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни  и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

, (4)

где  – комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) , имеем:

.

Для нахождения частного решения  неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция  и числа  не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение . Если же числа  являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение .

Применяя эту теорему при , имеем:

.

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :

.

Подставив в данное уравнение  и , получим:

,

откуда .

Следовательно,  и

.

Найдем :

.

Используя начальные условия, получим систему

откуда .

Следовательно,  есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Задача 7. б) Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Находим общее решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение  имеет два корня:  и ; .

В правой части заданного уравнения имеется показательная функция. Так как в данном случае  совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение  следует искать в виде функции .

Таким образом, ; дифференцируя дважды это равенство, получим: ; . Подставим ,  и  в левую часть заданного уравнения и определим коэффициент А:

.

Следовательно, частное решение , общее решение

. (*)

Используя начальные условия, определим значения произвольных постоянных  и . Дифференцируя общее решение (*), получим:

. (**)

Подставив в общее решение (*)  и , будем иметь .

Подставив в (**)  и , будем иметь:

.

Решая совместно систему

Находим:  и .

 Таким образом,  есть то частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.

Вычислить интеграл