Математика решение задач контрольной работы

Определители
Найдите производные функций
Исследовать на экстремум функцию
Найти объем тела, образованного вращением фигуры
Найти частное решение уравнения
Написать первые три члена ряда
Интеграл Римана.
Вычисление определенного интеграла.
Приложение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат
Объем тел в пространстве, площадь поверхности вращения.
Найти область определения функции
Предел последовательности
Дифференцирование функции одной переменной
Понятие дифференциала
Применение производной к исследованию функций
Правило Лопиталя
Исследование функций и построение графиков
Интегральное исчисление функции одной переменной
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических дробей
Определенный интеграл
Интегрирование по частям
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычисление объемов тел вращения
 

Задача 7. а) Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения  однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть

.

Для нахождения  составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни  и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

, (4)

где  – комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) , имеем:

.

Для нахождения частного решения  неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция  и числа  не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение . Если же числа  являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение .

Применяя эту теорему при , имеем:

.

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :

.

Подставив в данное уравнение  и , получим:

,

откуда .

Следовательно,  и

.

Найдем :

.

Используя начальные условия, получим систему

откуда .

Следовательно,  есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Задача 7. б) Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Находим общее решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение  имеет два корня:  и ; .

В правой части заданного уравнения имеется показательная функция. Так как в данном случае  совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение  следует искать в виде функции .

Таким образом, ; дифференцируя дважды это равенство, получим: ; . Подставим ,  и  в левую часть заданного уравнения и определим коэффициент А:

.

Следовательно, частное решение , общее решение

. (*)

Используя начальные условия, определим значения произвольных постоянных  и . Дифференцируя общее решение (*), получим:

. (**)

Подставив в общее решение (*)  и , будем иметь .

Подставив в (**)  и , будем иметь:

.

Решая совместно систему

Находим:  и .

 Таким образом,  есть то частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.

Вычислить интеграл